A組 $m$ 人、B組 $n$ 人の生徒のテストの得点について、A組の平均点を $\bar{x}$、分散を $S_A^2$、B組の平均点を $\bar{y}$、分散を $S_B^2$ とする。A組とB組を合わせた $(m+n)$ 人の平均点を $\bar{w}$、分散を $S^2$ とする。以下の空欄ア、イに当てはまるものを選択肢から選ぶ問題。

1. 問題の内容

A組 $m$ 人、B組 $n$ 人の生徒のテストの得点について、A組の平均点を $\bar{x}$、分散を $S_A^2$、B組の平均点を $\bar{y}$、分散を $S_B^2$ とする。A組とB組を合わせた $(m+n)$ 人の平均点を $\bar{w}$、分散を $S^2$ とする。以下の空欄ア、イに当てはまるものを選択肢から選ぶ問題。

2. 解き方の手順

(1) A組の得点と $\bar{w}$ の差の2乗の和について考える。

$\sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{w})^2 = \sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{x} + \bar{x} - \bar{w})^2$

$= \sum_{i=1}^{m} ((x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - \bar{w}) + (\bar{x} - \bar{w})^2)$

$= \sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - \bar{w})\sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{x}) + \sum_{i=1}^{m} (\bar{x} - \bar{w})^2$

ここで、$\sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{x}) = 0$ より、

$\sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{w})^2 = \sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{x})^2 + m(\bar{x} - \bar{w})^2$

分散の定義より、$S_A^2 = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{x})^2$ であるから、

$\sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{x})^2 = mS_A^2$

したがって、$\sum_{i=1}^{m} (x_i - \bar{w})^2 = mS_A^2 + m(\bar{x} - \bar{w})^2$ となる。

よって、アには $m(\bar{x} - \bar{w})^2$ が当てはまる。選択肢の中から探すと、②が該当する。

(2) A組とB組を合わせた $(m+n)$ 人の得点の分散 $S^2$ について考える。

$(m+n)\bar{w} = \sum_{i=1}^m x_i + \sum_{i=1}^n y_i = m\bar{x} + n\bar{y}$ より、$\bar{w} = \frac{m\bar{x} + n\bar{y}}{m+n}$

分散$S^2$は以下のように計算できる。

$S^2 = \frac{1}{m+n}\left[\sum_{i=1}^m(x_i - \bar{w})^2 + \sum_{i=1}^n(y_i-\bar{w})^2\right]$

$= \frac{1}{m+n}\left[\sum_{i=1}^m(x_i - \bar{x} + \bar{x}-\bar{w})^2 + \sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y}+\bar{y}-\bar{w})^2\right]$

$= \frac{1}{m+n}\left[\sum_{i=1}^m((x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x}-\bar{w}) + (\bar{x}-\bar{w})^2) + \sum_{i=1}^n((y_i - \bar{y})^2 + 2(y_i - \bar{y})(\bar{y}-\bar{w}) + (\bar{y}-\bar{w})^2)\right]$

$= \frac{1}{m+n}\left[\sum_{i=1}^m(x_i - \bar{x})^2 + m(\bar{x}-\bar{w})^2 + \sum_{i=1}^n(y_i - \bar{y})^2 + n(\bar{y}-\bar{w})^2 \right]$

$= \frac{1}{m+n}\left[mS_A^2 + m(\bar{x}-\bar{w})^2 + nS_B^2 + n(\bar{y}-\bar{w})^2 \right]$

$S^2 = \frac{mS_A^2 + nS_B^2 + m(\bar{x} - \bar{w})^2 + n(\bar{y} - \bar{w})^2}{m+n}$

よってイには、$m(\bar{x} - \bar{w})^2 + n(\bar{y} - \bar{w})^2$が入る。

3. 最終的な答え

ア：②

イ： $m(\bar{x} - \bar{w})^2 + n(\bar{y} - \bar{w})^2$