与えられた6つの式をそれぞれ計算する問題です。展開の公式や、$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ などの公式を利用します。

1. 問題の内容

与えられた6つの式をそれぞれ計算する問題です。展開の公式や、$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ などの公式を利用します。

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+3)$

分配法則を使って展開します。

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+3) = \sqrt{2} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times 3 + 1 \times \sqrt{2} + 1 \times 3$

$= 2 + 3\sqrt{2} + \sqrt{2} + 3$

$= 5 + 4\sqrt{2}$

(2) $(\sqrt{3}+1)^2$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$の公式を使います。

$(\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \times \sqrt{3} \times 1 + 1^2$

$= 3 + 2\sqrt{3} + 1$

$= 4 + 2\sqrt{3}$

(3) $(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$の公式を使います。

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

$= 5 - 2\sqrt{10} + 2$

$= 7 - 2\sqrt{10}$

(4) $(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}-1)$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$の公式を使います。

$(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}-1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2$

$= 6 - 1$

$= 5$

(5) $(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$の公式を使います。

$(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{2})^2 - 2 \times 3\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2$

$= 9 \times 2 - 12\sqrt{6} + 4 \times 3$

$= 18 - 12\sqrt{6} + 12$

$= 30 - 12\sqrt{6}$

(6) $(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})(5\sqrt{2}+4\sqrt{3})$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$の公式を使います。

$(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}) = (5\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{3})^2$

$= 25 \times 2 - 16 \times 3$

$= 50 - 48$

$= 2$

3. 最終的な答え

(1) $5 + 4\sqrt{2}$

(2) $4 + 2\sqrt{3}$

(3) $7 - 2\sqrt{10}$

(4) $5$

(5) $30 - 12\sqrt{6}$

(6) $2$