与えられた式 $\frac{x+5}{x^2-2x-3} + \frac{1}{x^2+3x+2}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x+5}{x^2-2x-3} + \frac{1}{x^2+3x+2}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

これにより、式は次のようになります。

$\frac{x+5}{(x-3)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

次に、2つの分数を足し合わせるために、共通の分母を見つけます。共通の分母は$(x-3)(x+1)(x+2)$です。

各分数を共通の分母で書き換えます。

$\frac{x+5}{(x-3)(x+1)} = \frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x-3}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

次に、分子を足し合わせます。

$\frac{(x+5)(x+2) + (x-3)}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+7x+10 + x - 3}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x^2+8x+7}{(x-3)(x+1)(x+2)}$

分子を因数分解します。

$x^2 + 8x + 7 = (x+1)(x+7)$

式を簡略化します。

$\frac{(x+1)(x+7)}{(x-3)(x+1)(x+2)} = \frac{x+7}{(x-3)(x+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+7}{(x-3)(x+2)}$

または、

$\frac{x+7}{x^2-x-6}$