$x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$、$y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求めなさい。 (1) $xy$ (2) $x^2 - y^2$ (3) $x^2 + 2xy + y^2$

はい、承知いたしました。問題文を読み取り、解いていきます。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} + \sqrt{2}$、$y = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求めなさい。

(1) $xy$

(2) $x^2 - y^2$

(3) $x^2 + 2xy + y^2$

2. 解き方の手順

(1) $xy$ の値を求める。

$xy = (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})$

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$xy = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

(2) $x^2 - y^2$ の値を求める。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

$x+y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{5}$

$x-y = (\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

$x^2 - y^2 = (2\sqrt{5})(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{10}$

(3) $x^2 + 2xy + y^2$ の値を求める。

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$

$x+y = 2\sqrt{5}$

$(x+y)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $xy = 3$

(2) $x^2 - y^2 = 4\sqrt{10}$

(3) $x^2 + 2xy + y^2 = 20$