二次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 3$ の $-3 \le x \le 0$ における最小値を求め、与えられた空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 3$ の $-3 \le x \le 0$ における最小値を求め、与えられた空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + a^2 + 3 = (x - a)^2 + 3$

このグラフは、頂点が $(a, 3)$ の下に凸な放物線です。定義域 $-3 \le x \le 0$ における最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標 $a$ の値によって場合分けが必要です。

(1) $a < -3$ のとき

頂点が定義域の左側にあるため、定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ の値は小さくなります。

したがって、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = (0 - a)^2 + 3 = a^2 + 3$

(2) $-3 \le a \le 0$ のとき

頂点が定義域内にあるため、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = (a - a)^2 + 3 = 3$

(3) $0 < a$ のとき

頂点が定義域の右側にあるため、定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ の値は小さくなります。

したがって、$x = -3$ で最小値をとります。

最小値は $y = (-3 - a)^2 + 3 = (a + 3)^2 + 3 = a^2 + 6a + 9 + 3 = a^2 + 6a + 12$

3. 最終的な答え

(1) $a < -3$ のとき、$x = 0$ で最小値 $a^2 + 3$

(2) $-3 \le a \le 0$ のとき、$x = a$ で最小値 $3$

(3) $0 < a$ のとき、$x = -3$ で最小値 $a^2 + 6a + 12$