大人8人と子ども4人の中から5人を選ぶ。 (1) すべての選び方 (2) 大人3人と子ども2人を選ぶ選び方 (3) 子どもが少なくとも1人含まれる選び方

1. 問題の内容

大人8人と子ども4人の中から5人を選ぶ。

(1) すべての選び方

(2) 大人3人と子ども2人を選ぶ選び方

(3) 子どもが少なくとも1人含まれる選び方

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

大人8人と子ども4人の合計12人から5人を選ぶ組み合わせを求める。

これは $_{12}C_5$ で計算できる。

$_{12}C_5 = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12 \times 11 \times 3 \times 2 = 792$

(2) 大人3人と子ども2人を選ぶ選び方

大人8人から3人を選ぶ組み合わせは $_{8}C_3$ で計算できる。

子ども4人から2人を選ぶ組み合わせは $_{4}C_2$ で計算できる。

それぞれの組み合わせの積が答えになる。

$_{8}C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

$_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$56 \times 6 = 336$

(3) 子どもが少なくとも1人含まれる選び方

すべての選び方から、子どもが誰も含まれない選び方（つまり、大人5人を選ぶ選び方）を引けばよい。

すべての選び方は(1)で計算した792通り。

大人8人から5人を選ぶ組み合わせは $_{8}C_5$ で計算できる。

$_{8}C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

$792 - 56 = 736$

3. 最終的な答え

(1) 792通り

(2) 336通り

(3) 736通り