与えられた式 $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$ を展開し、簡単にすることを求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$ を展開し、簡単にすることを求めます。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y+1)(x+y-1)$ と $(x-y+1)(x-y-1)$ をそれぞれ計算します。

$(x+y+1)(x+y-1)$ は、和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いて、$a = x+y$、 $b = 1$ とすると、

$(x+y+1)(x+y-1) = (x+y)^2 - 1^2 = (x+y)^2 - 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

同様に、$(x-y+1)(x-y-1)$ は、$a = x-y$、 $b = 1$ とすると、

$(x-y+1)(x-y-1) = (x-y)^2 - 1^2 = (x-y)^2 - 1 = x^2 - 2xy + y^2 - 1$

したがって、与えられた式は、

$(x^2 + 2xy + y^2 - 1)(x^2 - 2xy + y^2 - 1)$

ここで、$A = x^2 + y^2 - 1$ とおくと、

$(x^2 + y^2 - 1 + 2xy)(x^2 + y^2 - 1 - 2xy) = (A + 2xy)(A - 2xy) = A^2 - (2xy)^2$

$= (x^2 + y^2 - 1)^2 - 4x^2y^2$

$= (x^2)^2 + (y^2)^2 + (-1)^2 + 2(x^2)(y^2) + 2(x^2)(-1) + 2(y^2)(-1) - 4x^2y^2$

$= x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 - 4x^2y^2$

$= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

$= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 + y^4 - 2x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 1$