与えられた等式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を利用して、次の式を因数分解します。 (1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ (2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$

はい、承知しました。以下の形式で問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた等式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を利用して、次の式を因数分解します。

(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$

(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$

2. 解き方の手順

(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ の因数分解

$c$ を $-c$ に置き換えると、与えられた公式に当てはめることができます。

$a^3 + b^3 + (-c)^3 - 3ab(-c) = (a+b-c)(a^2 + b^2 + (-c)^2 - a\cdot b - b\cdot (-c) - (-c)\cdot a)$

これを整理すると、

$a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = (a+b-c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab + bc + ca)$

(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$ の因数分解

$x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 3\cdot x\cdot (2y)\cdot 1$ と変形できます。

$a = x$, $b = 2y$, $c = 1$ とすると、与えられた公式に当てはめることができます。

$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ に代入して、

$(x+2y+1)(x^2 + (2y)^2 + 1^2 - x\cdot (2y) - (2y)\cdot 1 - 1\cdot x)$

これを整理すると、

$(x+2y+1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = (a+b-c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab + bc + ca)$

(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy = (x+2y+1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$