$x+y+z=0$, $xy+yz+zx=-5$, $xyz=2$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ と $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x+y+z=0$, $xy+yz+zx=-5$, $xyz=2$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ と $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2+y^2+z^2$ の値を求める。

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$ であることを利用する。

$x+y+z=0$ より、$(x+y+z)^2 = 0$ となる。

また、$xy+yz+zx=-5$ であるから、$2(xy+yz+zx) = -10$ となる。

したがって、$0 = x^2+y^2+z^2 - 10$ となり、$x^2+y^2+z^2 = 10$ となる。

次に、$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$ の値を求める。

$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 2(xy^2z+xyz^2+x^2yz)$ であることを利用する。

$xy+yz+zx=-5$ より、$(xy+yz+zx)^2 = (-5)^2 = 25$ となる。

また、$2(xy^2z+xyz^2+x^2yz) = 2xyz(x+y+z)$ である。

$x+y+z=0$ より、$2xyz(x+y+z) = 0$ となる。

したがって、$25 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 + 0$ となり、$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 25$ となる。

3. 最終的な答え

$x^2+y^2+z^2 = 10$

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 25$