大学生、高校生、中学生合わせて20人が美術館と博物館に行った。美術館の入場料は10,600円、博物館の入場料は11,400円だった。それぞれの入場料は、大学生1,000円/人(美術館)、800円/人(博物館)、高校生500円/人(美術館)、600円/人(博物館)、中学生300円/人(美術館)、400円/人(博物館)である。大学生、高校生、中学生の人数をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

大学生、高校生、中学生合わせて20人が美術館と博物館に行った。美術館の入場料は10,600円、博物館の入場料は11,400円だった。それぞれの入場料は、大学生1,000円/人(美術館)、800円/人(博物館)、高校生500円/人(美術館)、600円/人(博物館)、中学生300円/人(美術館)、400円/人(博物館)である。大学生、高校生、中学生の人数をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

大学生の人数を$x$人、高校生の人数を$y$人、中学生の人数を$z$人とする。

すると、次の3つの式が成り立つ。

人数に関する式:

$x + y + z = 20$

美術館の入場料に関する式:

$1000x + 500y + 300z = 10600$

博物館の入場料に関する式:

$800x + 600y + 400z = 11400$

2番目の式を100で割ると、

$10x + 5y + 3z = 106$

3番目の式を200で割ると、

$4x + 3y + 2z = 57$

1番目の式に3をかけると、

$3x + 3y + 3z = 60$

$10x + 5y + 3z = 106$から$3x + 3y + 3z = 60$を引くと、

$7x + 2y = 46$

1番目の式に2をかけると、

$2x + 2y + 2z = 40$

$4x + 3y + 2z = 57$から$2x + 2y + 2z = 40$を引くと、

$2x + y = 17$

$y = 17 - 2x$

これを$7x + 2y = 46$に代入すると、

$7x + 2(17 - 2x) = 46$

$7x + 34 - 4x = 46$

$3x = 12$

$x = 4$

$y = 17 - 2x = 17 - 2(4) = 17 - 8 = 9$

$z = 20 - x - y = 20 - 4 - 9 = 7$

3. 最終的な答え

大学生: 4人

高校生: 9人

中学生: 7人