大学生、高校生、中学生合わせて20人が美術館と博物館に行った。美術館の入場料は合計で10,600円、博物館の入場料は合計で11,400円だった。それぞれの学生の人数を求める。各施設の入場料は以下の通り： * 大学生：美術館1000円、博物館800円 * 高校生：美術館500円、博物館600円 * 中学生：美術館300円、博物館400円

1. 問題の内容

大学生、高校生、中学生合わせて20人が美術館と博物館に行った。美術館の入場料は合計で10,600円、博物館の入場料は合計で11,400円だった。それぞれの学生の人数を求める。各施設の入場料は以下の通り：

* 大学生：美術館1000円、博物館800円

* 高校生：美術館500円、博物館600円

* 中学生：美術館300円、博物館400円

2. 解き方の手順

大学生の人数を$x$、高校生の人数を$y$、中学生の人数を$z$とする。問題文から、以下の3つの式を立てられる。

* 人数に関する式: $x + y + z = 20$

* 美術館の入場料に関する式: $1000x + 500y + 300z = 10600$

* 博物館の入場料に関する式: $800x + 600y + 400z = 11400$

2番目と3番目の式を簡単にするために、それぞれ100で割る。

* $10x + 5y + 3z = 106$

* $8x + 6y + 4z = 114$

さらに、3番目の式を2で割る。

* $4x + 3y + 2z = 57$

1番目の式を2倍して、3番目の式から引く。

$2(x+y+z) = 2(20)$

$2x + 2y + 2z = 40$

$(4x + 3y + 2z) - (2x + 2y + 2z) = 57 - 40$

$2x + y = 17$

同様に、1番目の式を3倍して、2番目の式から引く。

$3(x+y+z) = 3(20)$

$3x + 3y + 3z = 60$

$(10x + 5y + 3z) - (3x + 3y + 3z) = 106 - 60$

$7x + 2y = 46$

$2x+y=17$より$y = 17 - 2x$。これを$7x + 2y = 46$に代入する。

$7x + 2(17 - 2x) = 46$

$7x + 34 - 4x = 46$

$3x = 12$

$x = 4$

$y = 17 - 2x = 17 - 2(4) = 17 - 8 = 9$

$z = 20 - x - y = 20 - 4 - 9 = 7$

3. 最終的な答え

大学生は4人、高校生は9人、中学生は7人。