関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 6$ の $-2 \le x \le 5$ における最大値を求め、与えられた条件に基づいて最大値を与える $x$ の値と、そのときの最大値を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 6$ の $-2 \le x \le 5$ における最大値を求め、与えられた条件に基づいて最大値を与える $x$ の値と、そのときの最大値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 2ax) - 2a^2 + 6$

$y = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 2a^2 + 6$

$y = -2(x - a)^2 + 2a^2 - 2a^2 + 6$

$y = -2(x - a)^2 + 6$

この関数は、上に凸な放物線であり、軸は $x = a$ です。定義域は $-2 \le x \le 5$ なので、軸 $x = a$ の位置によって最大値を取る $x$ の値が変わります。

(1) $a < -2$ のとき、定義域 $-2 \le x \le 5$ で $x$ が増加するほど $y$ は減少するので、$x = -2$ で最大値を取ります。

$x = -2$ を $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 6$ に代入すると、

$y = -2(-2)^2 + 4a(-2) - 2a^2 + 6 = -8 - 8a - 2a^2 + 6 = -2a^2 - 8a - 2$

(2) $-2 \le a \le 5$ のとき、軸 $x = a$ が定義域内にあるので、$x = a$ で最大値を取ります。

$x = a$ を $y = -2(x - a)^2 + 6$ に代入すると、$y = -2(a - a)^2 + 6 = 6$

(3) $5 < a$ のとき、定義域 $-2 \le x \le 5$ で $x$ が増加するほど $y$ は増加するので、$x = 5$ で最大値を取ります。

$x = 5$ を $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 6$ に代入すると、

$y = -2(5)^2 + 4a(5) - 2a^2 + 6 = -50 + 20a - 2a^2 + 6 = -2a^2 + 20a - 44$

3. 最終的な答え

(1) $a < -2$ のとき、 $x = -2$ で最大値 $-2a^2 - 8a - 2$

(2) $-2 \le a \le 5$ のとき、$x = a$ で最大値 $6$

(3) $5 < a$ のとき、$x = 5$ で最大値 $-2a^2 + 20a - 44$