二次関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 4$ の $-5 \le x \le 3$ における最大値を求め、その時の $x$ の値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして答える問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 4$ の $-5 \le x \le 3$ における最大値を求め、その時の $x$ の値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 4 = -2(x^2 - 2ax) - 2a^2 + 4 = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 2a^2 + 4 = -2((x-a)^2 - a^2) - 2a^2 + 4 = -2(x-a)^2 + 2a^2 - 2a^2 + 4 = -2(x-a)^2 + 4$

したがって、$y = -2(x-a)^2 + 4$ となります。このグラフは、頂点が $(a, 4)$ で、上に凸の放物線です。

定義域は $-5 \le x \le 3$ ですので、軸 $x=a$ がこの範囲内でどのように動くかによって最大値を取る $x$ の値が変わります。

(1) $a < -5$ のとき

この場合、軸は定義域の左側にありますので、$x = -5$ で最大値を取ります。最大値は

$y = -2(-5-a)^2 + 4 = -2(25 + 10a + a^2) + 4 = -50 - 20a - 2a^2 + 4 = -2a^2 - 20a - 46$

(2) $-5 \le a \le 3$ のとき

この場合、軸は定義域の中にありますので、$x = a$ で最大値を取ります。最大値は $y=4$。

(3) $3 < a$ のとき

この場合、軸は定義域の右側にありますので、$x = 3$ で最大値を取ります。最大値は

$y = -2(3-a)^2 + 4 = -2(9 - 6a + a^2) + 4 = -18 + 12a - 2a^2 + 4 = -2a^2 + 12a - 14$

3. 最終的な答え

(1) $a < -5$ のとき、 $x = -5$ で最大値 $-2a^2 - 20a - 46$

(2) $-5 \le a \le 3$ のとき、 $x = a$ で最大値 $4$

(3) $3 < a$ のとき、 $x = 3$ で最大値 $-2a^2 + 12a - 14$