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二次関数 $y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 4$ の $-5 \le x \le 3$ における最大値を求め、その時の $x$ の値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして答える問題です。

代数学二次関数最大値場合分け平方完成
2025/3/23

1. 問題の内容

二次関数 y=−2x2+4ax−2a2+4y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 4 の −5≤x≤3-5 \le x \le 3 における最大値を求め、その時の xx の値を、aa の値の範囲によって場合分けして答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。
y=−2x2+4ax−2a2+4=−2(x2−2ax)−2a2+4=−2(x2−2ax+a2−a2)−2a2+4=−2((x−a)2−a2)−2a2+4=−2(x−a)2+2a2−2a2+4=−2(x−a)2+4y = -2x^2 + 4ax - 2a^2 + 4 = -2(x^2 - 2ax) - 2a^2 + 4 = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 2a^2 + 4 = -2((x-a)^2 - a^2) - 2a^2 + 4 = -2(x-a)^2 + 2a^2 - 2a^2 + 4 = -2(x-a)^2 + 4
したがって、y=−2(x−a)2+4y = -2(x-a)^2 + 4 となります。このグラフは、頂点が (a,4)(a, 4) で、上に凸の放物線です。
定義域は −5≤x≤3-5 \le x \le 3 ですので、軸 x=ax=a がこの範囲内でどのように動くかによって最大値を取る xx の値が変わります。
(1) a<−5a < -5 のとき
この場合、軸は定義域の左側にありますので、x=−5x = -5 で最大値を取ります。最大値は
y=−2(−5−a)2+4=−2(25+10a+a2)+4=−50−20a−2a2+4=−2a2−20a−46y = -2(-5-a)^2 + 4 = -2(25 + 10a + a^2) + 4 = -50 - 20a - 2a^2 + 4 = -2a^2 - 20a - 46
(2) −5≤a≤3-5 \le a \le 3 のとき
この場合、軸は定義域の中にありますので、x=ax = a で最大値を取ります。最大値は y=4y=4。
(3) 3<a3 < a のとき
この場合、軸は定義域の右側にありますので、x=3x = 3 で最大値を取ります。最大値は
y=−2(3−a)2+4=−2(9−6a+a2)+4=−18+12a−2a2+4=−2a2+12a−14y = -2(3-a)^2 + 4 = -2(9 - 6a + a^2) + 4 = -18 + 12a - 2a^2 + 4 = -2a^2 + 12a - 14

3. 最終的な答え

(1) a<−5a < -5 のとき、 x=−5x = -5 で最大値 −2a2−20a−46-2a^2 - 20a - 46
(2) −5≤a≤3-5 \le a \le 3 のとき、 x=ax = a で最大値 44
(3) 3<a3 < a のとき、 x=3x = 3 で最大値 −2a2+12a−14-2a^2 + 12a - 14

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