座標平面上の曲線 $C: y = x^3 - 3x$ と点 $P(p, q)$ を考える。ただし、$p > 0$ とする。 (1) 曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における $C$ の接線の方程式を $t$ を用いて表す。 (2) 点 $P$ を通る $C$ の接線がちょうど2本あるための $p, q$ の満たす条件を求める。 (3) $p, q$ が (2) の条件に加えて $q < -2$ を満たすとき、点 $P$ を通る $C$ の2つの接線と $C$ で囲まれた図形の面積を $p$ を用いて表す。

1. 問題の内容

座標平面上の曲線 $C: y = x^3 - 3x$ と点 $P(p, q)$ を考える。ただし、$p > 0$ とする。

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 - 3t)$ における $C$ の接線の方程式を $t$ を用いて表す。

(2) 点 $P$ を通る $C$ の接線がちょうど2本あるための $p, q$ の満たす条件を求める。

(3) $p, q$ が (2) の条件に加えて $q < -2$ を満たすとき、点 $P$ を通る $C$ の2つの接線と $C$ で囲まれた図形の面積を $p$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $C$ の方程式は $y = x^3 - 3x$ である。

$y' = 3x^2 - 3$ であるから、点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線の傾きは $3t^2 - 3$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2)

点 $P(p, q)$ を通る接線を考えるので、$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$ に $x = p, y = q$ を代入すると

$q = (3t^2 - 3)p - 2t^3$

$2t^3 - 3pt^2 + 3p + q = 0$

$f(t) = 2t^3 - 3pt^2 + 3p + q$ とおくと、$f(t) = 0$ が異なる2つの実数解をもつような $p, q$ の条件を求めればよい。

$f'(t) = 6t^2 - 6pt = 6t(t - p)$

$f'(t) = 0$ とすると $t = 0, p$

$f(0) = 3p + q$

$f(p) = 2p^3 - 3p^3 + 3p + q = -p^3 + 3p + q$

$f(t) = 0$ が異なる2つの実数解をもつのは、$f(0) = 0$ または $f(p) = 0$ のときである。

(i) $f(0) = 0$ のとき、 $3p + q = 0$ すなわち $q = -3p$

このとき、 $f(t) = 2t^3 - 3pt^2 = t^2(2t - 3p) = 0$

$t = 0$ (重解), $t = \frac{3}{2}p$

(ii) $f(p) = 0$ のとき、 $-p^3 + 3p + q = 0$ すなわち $q = p^3 - 3p$

このとき、$f(t) = 2t^3 - 3pt^2 + 3p + p^3 - 3p = 2t^3 - 3pt^2 + p^3 = (t - p)^2(2t + p) = 0$

$t = p$ (重解), $t = -\frac{1}{2}p$

$f(0) \cdot f(p) = (3p + q)(-p^3 + 3p + q) = 0$

$q = -3p$ または $q = p^3 - 3p$

(3)

$q = -3p$ かつ $q < -2$ より、 $-3p < -2$ すなわち $p > \frac{2}{3}$

$q = p^3 - 3p$ かつ $q < -2$ より、 $p^3 - 3p < -2$ すなわち $p^3 - 3p + 2 < 0$

$(p - 1)^2(p + 2) < 0$

$p > 0$ より、 $p \neq 1$ かつ $p + 2 > 0$ だから、$p = 1$ がありえないので、$p = 1$は除外されます。

このとき $p > 0$ なので、$p = 1$

したがって、$p = 1$

点$P(p, q)$を通り曲線$C: y=x^3-3x$に接する2つの接線の$t$の値は、$0$と$\frac{3}{2}p$もしくは、$p$と$-\frac{1}{2}p$。

2つの接線の交点の$x$座標は、$t_1, t_2$とすると、$(\frac{t_1+t_2}{2})^2 = \frac{Area}{3}$

$S = \frac{1}{12} |(t_1 + t_2)/2|^4 = \frac{1}{12}|p|^4= (t_2-t_1)^4$

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) $q = -3p$ または $q = p^3 - 3p$

(3) $\frac{4}{3} (1-p^3/2+3/2 p)$