## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた4つの極限の値を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$

(2) $\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x}$

(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2 - 1}{|x-1|}$

(4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2 - 1}{|x-1|}$

## 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x}$**

$x$ が $0$ に正の方向から近づくとき、$x > 0$ であるため、$|x| = x$ となります。したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to +0} 1 = 1$

**(2) $\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x}$**

$x$ が $0$ に負の方向から近づくとき、$x < 0$ であるため、$|x| = -x$ となります。したがって、

$\lim_{x \to -0} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to -0} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to -0} -1 = -1$

**(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2 - 1}{|x-1|}$**

$x$ が $1$ に正の方向から近づくとき、$x > 1$ であるため、$x - 1 > 0$ であり、$|x-1| = x-1$ となります。また、$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ と因数分解できます。したがって、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{x^2 - 1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1+0} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} (x+1) = 1+1 = 2$

**(4) $\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2 - 1}{|x-1|}$**

$x$ が $1$ に負の方向から近づくとき、$x < 1$ であるため、$x - 1 < 0$ であり、$|x-1| = -(x-1)$ となります。また、$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ と因数分解できます。したがって、

$\lim_{x \to 1-0} \frac{x^2 - 1}{|x-1|} = \lim_{x \to 1-0} \frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1-0} -(x+1) = -(1+1) = -2$

## 最終的な答え

(1) 1

(2) -1

(3) 2

(4) -2