与えられた関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形をかく問題です。 (1) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ (2) $y = x + \sin 2x \quad (0 \leq x \leq \pi)$

1. 問題の内容

与えられた関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形をかく問題です。

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

(2) $y = x + \sin 2x \quad (0 \leq x \leq \pi)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

まず、微分を計算します。

$y' = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$

$y'' = \frac{-2(x^2+1)^2 + 2x \cdot 2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{-2(x^2+1) + 8x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{6x^2-2}{(x^2+1)^3} = \frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}$

$y'=0$ となるのは $x=0$ のとき。

$y''>0$ となるのは $3x^2-1>0$ より $x^2 > \frac{1}{3}$ つまり $x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$ または $x > \frac{1}{\sqrt{3}}$

$y''<0$ となるのは $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x=0$ のとき $y=1$。

$x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $y=\frac{1}{\frac{1}{3}+1} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$

増減表を書くと以下のようになります。

| x | ... | -1/√3 | ... | 0 | ... | 1/√3 | ... |

|--------------|------------|-----------|-------|----------|------------|-----------|------------|

| y' | + | + | + | 0 | - | - | - |

| y'' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y | ↗ | 3/4 | 凹 | 1 | 凸 | 3/4 | ↗ |

| | | 変曲点 | | 極大値 | | 変曲点 | |

(2) $y = x + \sin 2x \quad (0 \leq x \leq \pi)$

$y' = 1 + 2\cos 2x$

$y'' = -4\sin 2x$

$y'=0$ となるのは $\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$y'' = 0$ となるのは $\sin 2x = 0$

$2x = 0, \pi, 2\pi$

$x=0, \frac{\pi}{2}, \pi$

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{3} + \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき $y = \frac{2\pi}{3} + \sin \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=0$ のとき $y=0$

$x=\frac{\pi}{2}$ のとき $y=\frac{\pi}{2}$

$x=\pi$ のとき $y=\pi$

| x | 0 | ... | π/3 | ... | π/2 | ... | 2π/3 | ... | π |

|--------------|----------|------------|----------|----------|----------|-----------|----------|-----------|----------|

| y' | 3 | + | 0 | - | -1 | - | 0 | + | 3 |

| y'' | 0 | - | -2√3 | - | 0 | + | 2√3 | + | 0 |

| y | 0 | 凸 | π/3+√3/2 | 凹 | π/2 | 凸 | 2π/3-√3/2 | 凹 | π |

| | 変曲点 | | 極大値 | | 変曲点 | | 極小値 | | 変曲点 |

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ のグラフは、極大値が $x=0$ のとき $y=1$ であり、変曲点は $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $y = \frac{3}{4}$ である。

(2) $y = x + \sin 2x \quad (0 \leq x \leq \pi)$ のグラフは、極大値が $x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$、極小値が $x = \frac{2\pi}{3}$ のとき $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、変曲点は $x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ のとき、それぞれ $y = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ である。