関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求めます。 (2) 定数 $k$ について、方程式 $f(x) - k = 0$ の異なる実数解の個数を調べます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の増減を調べ、極値を求めます。

(2) 定数 $k$ について、方程式 $f(x) - k = 0$ の異なる実数解の個数を調べます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の増減と極値を求める。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

したがって、$x = 1, 3$ です。

$x=1$ と $x=3$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

- $x<1$ のとき、$f'(x) > 0$

- $1<x<3$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x>3$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で極大値、 $x=3$ で極小値をとります。

極大値は $f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$

極小値は $f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$

(2) 方程式 $f(x) - k = 0$ の異なる実数解の個数を調べる。

$f(x) - k = 0$ は $f(x) = k$ と書き換えられます。これは、$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数を求めることに相当します。

極大値が5, 極小値が1であることから、

- $k < 1$ のとき、実数解の個数は1個

- $k = 1$ のとき、実数解の個数は2個

- $1 < k < 5$ のとき、実数解の個数は3個

- $k = 5$ のとき、実数解の個数は2個

- $k > 5$ のとき、実数解の個数は1個

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は $x=1$ で極大値5, $x=3$ で極小値1をとる。

(2)

- $k < 1$ のとき、実数解の個数は1個

- $k = 1$ のとき、実数解の個数は2個

- $1 < k < 5$ のとき、実数解の個数は3個

- $k = 5$ のとき、実数解の個数は2個

- $k > 5$ のとき、実数解の個数は1個