与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2$ について、増減、極値、凹凸を調べ、グラフを描く。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2$ について、増減、極値、凹凸を調べ、グラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、増減を調べます。

(1) 一階微分を計算する。

$y' = 3x^2 - 12x$

(2) $y' = 0$ となる $x$ の値を求める。

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

$x = 0, 4$

(3) 二階微分を計算する。

$y'' = 6x - 12$

(4) $y'' = 0$ となる $x$ の値を求める。

$6x - 12 = 0$

$x = 2$

(5) 増減表を作る。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... | 4 | ... |

|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| y'' | - | - | - | 0 | + | + | + |

| y | ↗ | 0 | ↘ | -16 | ↘ | -32 | ↗ |

(6) 極値と変曲点を求める。

$x = 0$ のとき、極大値 $y = 0$

$x = 4$ のとき、極小値 $y = 4^3 - 6(4^2) = 64 - 96 = -32$

$x = 2$ のとき、変曲点 $y = 2^3 - 6(2^2) = 8 - 24 = -16$

(7)グラフを描く。

増減表と極値、変曲点をもとにグラフを描く。

3. 最終的な答え

- 極大値: $(0, 0)$

- 極小値: $(4, -32)$

- 変曲点: $(2, -16)$

- グラフは、上記の情報をもとに描画してください。