関数 $f(x) = xe^{-x}$ について、次の問いに答える問題です。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (2) 増減表を描く。 (3) $f(x) = xe^{-x}$ のグラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-x}$ について、次の問いに答える問題です。

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(2) 増減表を描く。

(3) $f(x) = xe^{-x}$ のグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

$f(x) = xe^{-x}$ を微分すると、

$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

次に、$f'(x)$ を微分して $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = (1-x)'e^{-x} + (1-x)(e^{-x})' = -e^{-x} + (1-x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = (x-2)e^{-x}$

(2) 増減表を描く。

$f'(x) = (1-x)e^{-x} = 0$ となる $x$ は、 $1-x = 0$ より $x = 1$ です。$e^{-x}$ は常に正なので考慮しません。

$f''(x) = (x-2)e^{-x} = 0$ となる $x$ は、$x-2 = 0$ より $x = 2$ です。

$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$ であり、$x > 1$ のとき $f'(x) < 0$ です。

$x < 2$ のとき $f''(x) < 0$ であり、$x > 2$ のとき $f''(x) > 0$ です。

$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = 1/e \approx 0.37$

$f(2) = 2 \cdot e^{-2} = 2/e^2 \approx 2 \cdot 0.14 = 0.28$

また、$\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 1 | ... | 2 | ... |

| -------- | ----- | --- | ----- | --- | ----- |

| f'(x) | + | 0 | - | - | - |

| f''(x) | - | - | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 1/e | ↓ | 2/e^2 | ↓ |

(3) グラフを描く。

$f(x) = xe^{-x}$ のグラフを描くには、増減表の情報を使用します。

$x \to \infty$ で $f(x) \to 0$ です。

$f(0) = 0$ です。

$x=1$ で極大値 $1/e$ を取り、$x=2$ で変曲点があり、$x=2$ の時の値は $2/e^2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = (1-x)e^{-x}$

$f''(x) = (x-2)e^{-x}$

(2) $f'(x) = 0$ の解は $x = 1$

$f''(x) = 0$ の解は $x = 2$

増減表は上記参照

(3)グラフは省略