関数 $y = \cos^3 x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^3 x$ の $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^3 x$ を三角関数の公式を使って変形します。

$\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ より、

$\cos^3 x = \frac{1}{4} \cos 3x + \frac{3}{4} \cos x$

したがって、$y = \frac{1}{4} \cos 3x + \frac{3}{4} \cos x$ となります。

次に、$n$ 次導関数を求めます。

$\frac{d^n}{dx^n} \cos x = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

$\frac{d^n}{dx^n} \cos ax = a^n \cos(ax + \frac{n\pi}{2})$

したがって、

$\frac{d^n}{dx^n} \cos 3x = 3^n \cos(3x + \frac{n\pi}{2})$

$\frac{d^n}{dx^n} \cos x = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

よって、

$\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{1}{4} \frac{d^n}{dx^n} \cos 3x + \frac{3}{4} \frac{d^n}{dx^n} \cos x$

$\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{1}{4} 3^n \cos(3x + \frac{n\pi}{2}) + \frac{3}{4} \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{3^n}{4} \cos(3x + \frac{n\pi}{2}) + \frac{3}{4} \cos(x + \frac{n\pi}{2})$