微分方程式 $x\frac{dy}{dx} - 4y = x^8$ の一般解を求める問題です。

## 問題 4

1. 問題の内容

微分方程式 $x\frac{dy}{dx} - 4y = x^8$ の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を標準形にします。

$x$で割ると、

$\frac{dy}{dx} - \frac{4}{x}y = x^7$

これは1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x)$ は、

$\mu(x) = e^{\int -\frac{4}{x} dx} = e^{-4\ln|x|} = e^{\ln|x^{-4}|} = x^{-4}$

両辺に積分因子を掛けます。

$x^{-4}\frac{dy}{dx} - 4x^{-5}y = x^3$

左辺は、$x^{-4}y$ の微分であることに注意すると、

$\frac{d}{dx}(x^{-4}y) = x^3$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(x^{-4}y) dx = \int x^3 dx$

$x^{-4}y = \frac{1}{4}x^4 + C$

したがって、

$y = \frac{1}{4}x^8 + Cx^4$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{4}x^8 + Cx^4$

## 問題 5

1. 問題の内容

微分方程式 $7y' + 2xy = 2\frac{x^5}{y^6}$ の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を書き換えます。

$7\frac{dy}{dx} + 2xy = 2\frac{x^5}{y^6}$

両辺に $y^6$ をかけます。

$7y^6\frac{dy}{dx} + 2xy^7 = 2x^5$

ここで、$z = y^7$ とおくと、$\frac{dz}{dx} = 7y^6\frac{dy}{dx}$ となるので、

$\frac{dz}{dx} + 2xz = 2x^5$

これは1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x)$ は、

$\mu(x) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$

両辺に積分因子を掛けます。

$e^{x^2}\frac{dz}{dx} + 2xe^{x^2}z = 2x^5e^{x^2}$

左辺は、$e^{x^2}z$ の微分であることに注意すると、

$\frac{d}{dx}(e^{x^2}z) = 2x^5e^{x^2}$

両辺を積分します。

$\int \frac{d}{dx}(e^{x^2}z) dx = \int 2x^5e^{x^2} dx$

左辺は $e^{x^2}z$ となります。右辺の積分は、部分積分を使って計算します。

$u = x^4, dv = 2xe^{x^2} dx$ とすると、$du = 4x^3 dx, v = e^{x^2}$ となるので、

$\int 2x^5e^{x^2} dx = x^4e^{x^2} - \int 4x^3e^{x^2} dx$

さらに、$\int 4x^3e^{x^2} dx$ を部分積分します。

$u = 2x^2, dv = 2xe^{x^2} dx$ とすると、$du = 4x dx, v = e^{x^2}$ となるので、

$\int 4x^3e^{x^2} dx = 2x^2e^{x^2} - \int 4xe^{x^2} dx = 2x^2e^{x^2} - 2e^{x^2} + C$

したがって、

$\int 2x^5e^{x^2} dx = x^4e^{x^2} - 2x^2e^{x^2} + 2e^{x^2} + C$

$e^{x^2}z = x^4e^{x^2} - 2x^2e^{x^2} + 2e^{x^2} + C$

$z = x^4 - 2x^2 + 2 + Ce^{-x^2}$

$y^7 = x^4 - 2x^2 + 2 + Ce^{-x^2}$

$y = \sqrt[7]{x^4 - 2x^2 + 2 + Ce^{-x^2}}$

3. 最終的な答え

$y = \sqrt[7]{x^4 - 2x^2 + 2 + Ce^{-x^2}}$

## 問題 6

1. 問題の内容

$(3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3)dx + (2ye^{3x^2+2y^2} + 4y^3)dy = 0$ が完全微分形であることを確かめ、一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

$P(x,y) = 3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3$, $Q(x,y) = 2ye^{3x^2+2y^2} + 4y^3$ とおきます。

$\frac{\partial P}{\partial y} = 3x \cdot e^{3x^2+2y^2} \cdot 4y = 12xye^{3x^2+2y^2}$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2y \cdot e^{3x^2+2y^2} \cdot 6x = 12xye^{3x^2+2y^2}$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ であるので、与えられた微分方程式は完全微分形です。

したがって、ある関数 $f(x,y)$ が存在して、$\frac{\partial f}{\partial x} = P$ かつ $\frac{\partial f}{\partial y} = Q$ を満たします。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3$ を $x$ で積分します。

$f(x,y) = \int (3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3) dx = \frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + \frac{3}{2}x^4 + g(y)$

ここで、$g(y)$ は $y$ のみの関数です。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + \frac{3}{2}x^4 + g(y)) = e^{3x^2+2y^2} \cdot 2y + g'(y) = 2ye^{3x^2+2y^2} + 4y^3$

したがって、$g'(y) = 4y^3$ となるので、$g(y) = \int 4y^3 dy = y^4 + C_1$

よって、$f(x,y) = \frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + \frac{3}{2}x^4 + y^4 = C$

$\frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + \frac{3}{2}x^4 + y^4 = C$

$e^{3x^2+2y^2} + 3x^4 + 2y^4 = 2C$

3. 最終的な答え

$e^{3x^2+2y^2} + 3x^4 + 2y^4 = C$

## 問題 7

1. 問題の内容

$(2xy\log y) dx + (x^2 + 3y^3) dy = 0$ に対して $x^\alpha y^\beta$ 型の積分因子を見出して一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

$P(x,y) = 2xy\log y$, $Q(x,y) = x^2 + 3y^3$ とおきます。

積分因子を $\mu(x,y) = x^\alpha y^\beta$ とすると、

$\mu P dx + \mu Q dy = 0$ は完全微分形になるので、

$\frac{\partial (\mu P)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}$

$\frac{\partial (x^{\alpha+1} y^{\beta+1} \log y)}{\partial y} = \frac{\partial (x^{\alpha+2}y^\beta + 3x^\alpha y^{\beta+3})}{\partial x}$

$(\beta+1) x^{\alpha+1} y^\beta \log y + x^{\alpha+1} y^{\beta+1} \frac{1}{y} = (\alpha+2) x^{\alpha+1}y^\beta + 3\alpha x^{\alpha-1} y^{\beta+3}$

$(\beta+1) x^{\alpha+1} y^\beta \log y + x^{\alpha+1} y^\beta = (\alpha+2) x^{\alpha+1}y^\beta + 3\alpha x^{\alpha-1} y^{\beta+3}$

$\log y$ の項が残っているので、$\alpha = 0$ とします。

$(\beta+1) x y^\beta \log y + x y^\beta = 2xy^\beta$

$(\beta+1) x y^\beta \log y = xy^\beta$

$\beta+1 = 0$ は不可能なので、$\beta = 0$ でもない。

$xy^\beta$で割ると、

$(\beta+1)\log y + 1 = 2$

$(\beta+1) \log y = 1$

別の積分因子を見つける必要があります。

$M = 2xy \log y$, $N = x^2 + 3y^3$

$\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{2x - (2x\log y + 2x)}{2xy \log y} = \frac{-2x \log y}{2xy \log y} = -\frac{1}{y}$

したがって、積分因子は $e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$ となる。

$\frac{2xy\log y}{y} dx + \frac{x^2 + 3y^3}{y} dy = 0$

$2x\log y dx + (\frac{x^2}{y} + 3y^2) dy = 0$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x \log y$

$f(x,y) = x^2 \log y + g(y)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + g'(y) = \frac{x^2}{y} + 3y^2$

$g'(y) = 3y^2$

$g(y) = y^3 + C$

したがって、$x^2 \log y + y^3 = C$

3. 最終的な答え

$x^2 \log y + y^3 = C$