与えられた極限値が特定の条件を満たすように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x} + b}{x - 2} = -1$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4} + b}{x} = 1$

1. 問題の内容

与えられた極限値が特定の条件を満たすように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x} + b}{x - 2} = -1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4} + b}{x} = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x} + b}{x - 2} = -1$

極限が存在するためには、分母が $x \to 2$ で0に近づくとき、分子も0に近づく必要があります。したがって、

$a\sqrt{2} + b = 0$

$b = -a\sqrt{2}$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x} - a\sqrt{2}}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x} - \sqrt{2})}{x - 2}$

$\sqrt{x} - \sqrt{2}$ の共役な式 $\sqrt{x} + \sqrt{2}$ を分子分母にかけると、

$\lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{(x - 2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 2} \frac{a(x - 2)}{(x - 2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})} = \lim_{x \to 2} \frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{2}} = \frac{a}{2\sqrt{2}}$

これが $-1$ に等しいので、

$\frac{a}{2\sqrt{2}} = -1$

$a = -2\sqrt{2}$

$b = -a\sqrt{2} = -(-2\sqrt{2})\sqrt{2} = 4$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4} + b}{x} = 1$

極限が存在するためには、分母が $x \to 0$ で0に近づくとき、分子も0に近づく必要があります。したがって、

$a\sqrt{0+4} + b = 0$

$2a + b = 0$

$b = -2a$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{a\sqrt{x+4} - 2a}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a(\sqrt{x+4} - 2)}{x}$

$\sqrt{x+4} - 2$ の共役な式 $\sqrt{x+4} + 2$ を分子分母にかけると、

$\lim_{x \to 0} \frac{a(\sqrt{x+4} - 2)(\sqrt{x+4} + 2)}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a(x+4 - 4)}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{ax}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{x+4} + 2} = \frac{a}{2+2} = \frac{a}{4}$

これが $1$ に等しいので、

$\frac{a}{4} = 1$

$a = 4$

$b = -2a = -2(4) = -8$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2\sqrt{2}, b = 4$

(2) $a = 4, b = -8$