等比数列 $\{a_n\}$ において、第3項が8、第5項が32であるとき、初項と公比を求め、さらに一般項を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ において、第3項が8、第5項が32であるとき、初項と公比を求め、さらに一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。ここで $a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数である。

与えられた条件から、以下の2つの式が得られる。

$a_3 = a_1 r^{3-1} = a_1 r^2 = 8$

$a_5 = a_1 r^{5-1} = a_1 r^4 = 32$

2つの式から $a_1$ と $r$ を求める。

$a_1 r^4 = 32$ と $a_1 r^2 = 8$ の比をとると、

$\frac{a_1 r^4}{a_1 r^2} = \frac{32}{8}$

$r^2 = 4$

したがって、$r = \pm 2$ となる。

(i) $r = 2$ のとき、 $a_1 r^2 = 8$ に代入すると、$a_1 (2)^2 = 8$ より $4 a_1 = 8$ となるので、$a_1 = 2$ である。

このとき、一般項は $a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ である。

(ii) $r = -2$ のとき、$a_1 r^2 = 8$ に代入すると、$a_1 (-2)^2 = 8$ より $4 a_1 = 8$ となるので、$a_1 = 2$ である。

このとき、一般項は $a_n = 2 \cdot (-2)^{n-1} = 2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-1} = (-1)^{n-1} 2^n$ である。

3. 最終的な答え

初項: 2

公比: 2 または -2

一般項: $a_n = 2^n$ または $a_n = (-1)^{n-1} 2^n$