次の不等式を解く問題です。 $|2x+1| \le |2x-1| + x$

1. 問題の内容

次の不等式を解く問題です。

$|2x+1| \le |2x-1| + x$

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解きます。

$2x+1$ の符号が変わる点と $2x-1$ の符号が変わる点で場合分けを行います。

$2x+1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$

$2x-1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

したがって、$x$ の範囲を以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < -\frac{1}{2}$ のとき

$2x+1 < 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、

$|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1$

$|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$

したがって、不等式は

$-2x-1 \le -2x+1 + x$

$-2x-1 \le -2x+1 + x$

$-1 \le 1 + x$

$x \ge -2$

$x < -\frac{1}{2}$ かつ $x \ge -2$ なので、$-2 \le x < -\frac{1}{2}$

(ii) $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$ のとき

$2x+1 \ge 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、

$|2x+1| = 2x+1$

$|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$

したがって、不等式は

$2x+1 \le -2x+1 + x$

$2x+1 \le -x+1$

$3x \le 0$

$x \le 0$

$-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$ かつ $x \le 0$ なので、$-\frac{1}{2} \le x \le 0$

(iii) $x \ge \frac{1}{2}$ のとき

$2x+1 > 0$ かつ $2x-1 \ge 0$ なので、

$|2x+1| = 2x+1$

$|2x-1| = 2x-1$

したがって、不等式は

$2x+1 \le 2x-1 + x$

$2x+1 \le 3x-1$

$2 \le x$

$x \ge \frac{1}{2}$ かつ $x \ge 2$ なので、$x \ge 2$

(i), (ii), (iii) より、

$-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$

したがって、$-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$

3. 最終的な答え

$-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$