2次方程式 $x^2 + 4x - 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4x - 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解を $\alpha$、$\beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$、$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ が成り立ちます。

今回の問題では、$a = 1$、$b = 4$、$c = -6$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{4}{1} = -4$

$\alpha\beta = \frac{-6}{1} = -6$

となります。

求めたい式 $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ は、$\alpha\beta$ でくくることができます。

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta)$

ここに、$\alpha + \beta = -4$、$\alpha\beta = -6$ を代入すると、

$\alpha\beta(\alpha + \beta) = (-6)(-4) = 24$

3. 最終的な答え

24