1から5までの数字が書かれた5つの玉が入った袋から、玉を1つ取り出し、数字を記録して袋に戻すという試行を$n$回繰り返す。$n$回の試行で得られた数の和が3の倍数となる確率を$p_n$とする。 (1) $p_1$を求める。 (2) $p_{n+1}$を$p_n$で表す。 (3) $p_n$を$n$で表す。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれた5つの玉が入った袋から、玉を1つ取り出し、数字を記録して袋に戻すという試行を$n$回繰り返す。$n$回の試行で得られた数の和が3の倍数となる確率を$p_n$とする。

(1) $p_1$を求める。

(2) $p_{n+1}$を$p_n$で表す。

(3) $p_n$を$n$で表す。

2. 解き方の手順

(1) $p_1$について。

1回の試行で和が3の倍数になるのは、3を取り出す場合のみなので、

$p_1 = \frac{1}{5}$

(2) $p_{n+1}$について。

$n+1$回の試行で和が3の倍数になるのは、以下の2つの場合がある。

(i) $n$回の試行で和が3の倍数であり、$n+1$回目の試行で3の倍数である数字が出る場合。

(ii) $n$回の試行で和が3の倍数でなく、$n+1$回目の試行でそれまでの和と合わせて3の倍数となる数字が出る場合。

$n$回の試行で和が3の倍数でない確率は、$1 - p_n$である。

$n+1$回目の試行で出る数字が、3の倍数になる確率は$\frac{1}{5}$である。

$n+1$回目の試行で出る数字が、それまでの和と合わせて3の倍数になる確率は$\frac{2}{5}$である。これは、1,2,4,5のいずれかの場合に、それぞれ2,1,5,4が出れば良いので、確率は$\frac{2}{5}$となる。

したがって、

$p_{n+1} = p_n \cdot \frac{1}{5} + (1-p_n) \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}p_n + \frac{2}{5} - \frac{2}{5}p_n = -\frac{1}{5}p_n + \frac{2}{5}$

(3) $p_n$について。

$p_{n+1} = -\frac{1}{5}p_n + \frac{2}{5}$

$p_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{5}(p_n - \frac{1}{3})$

$p_n - \frac{1}{3} = (p_1 - \frac{1}{3})(-\frac{1}{5})^{n-1}$

$p_n = (p_1 - \frac{1}{3})(-\frac{1}{5})^{n-1} + \frac{1}{3}$

$p_n = (\frac{1}{5} - \frac{1}{3})(-\frac{1}{5})^{n-1} + \frac{1}{3}$

$p_n = (-\frac{2}{15})(-\frac{1}{5})^{n-1} + \frac{1}{3}$

$p_n = (-\frac{2}{3})(-\frac{1}{5})^n + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}(-\frac{1}{5})^n + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{1}{5}$

(2) $p_{n+1} = -\frac{1}{5}p_n + \frac{2}{5}$

(3) $p_n = \frac{2}{3}(-\frac{1}{5})^n + \frac{1}{3}$