等差数列 $\{a_n\}$ において、第3項が11、第12項が47である。このとき、初項、公差、一般項、そして第20項を求めよ。

## 問題 8

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ において、第3項が11、第12項が47である。このとき、初項、公差、一般項、そして第20項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

問題文より、

$a_3 = a + 2d = 11$

$a_{12} = a + 11d = 47$

この2つの式から $a$ と $d$ を求める。

連立方程式を解くために、2番目の式から1番目の式を引くと、

$(a + 11d) - (a + 2d) = 47 - 11$

$9d = 36$

$d = 4$

$d = 4$ を最初の式に代入すると、

$a + 2(4) = 11$

$a + 8 = 11$

$a = 3$

したがって、初項は3、公差は4である。

一般項は $a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$

第20項は $a_{20} = 4(20) - 1 = 80 - 1 = 79$

3. 最終的な答え

初項：3

公差：4

一般項：$a_n = 4n - 1$

第20項：79

## 問題 9

1. 問題の内容

初項が43、公差が-5の等差数列 $\{a_n\}$ において、初めて負となるのは第何項か。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で表される。ここで、$a = 43$、$d = -5$ である。

$a_n = 43 + (n-1)(-5) = 43 - 5n + 5 = 48 - 5n$

初めて負になる項を求めるので、$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$48 - 5n < 0$

$48 < 5n$

$n > \frac{48}{5} = 9.6$

$n$ は整数なので、$n > 9.6$ を満たす最小の整数は10である。

3. 最終的な答え

第10項

## 問題 10

1. 問題の内容

以下の等差数列の和を求めよ。

(1) 初項7, 末項33, 項数14

(2) 初項-2, 公差5, 項数10

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の和 $S_n$ は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で表される。ここで、$n$ は項数、$a_1$ は初項、$a_n$ は末項である。

初項7, 末項33, 項数14なので、

$S_{14} = \frac{14}{2}(7 + 33) = 7(40) = 280$

(2) 等差数列の和 $S_n$ は $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$ で表される。ここで、$n$ は項数、$a$ は初項、$d$ は公差である。

初項-2, 公差5, 項数10なので、

$S_{10} = \frac{10}{2}\{2(-2) + (10-1)5\} = 5(-4 + 9(5)) = 5(-4 + 45) = 5(41) = 205$

3. 最終的な答え

(1) 280

(2) 205

## 問題 11

1. 問題の内容

2桁の自然数のうち、3の倍数であるものの和を求めよ。

2. 解き方の手順

2桁の自然数のうち、最小の3の倍数は12、最大の3の倍数は99である。

3の倍数の数列は、12, 15, 18, ..., 99 となる。

これは初項12、公差3の等差数列である。

項数を $n$ とすると、 $99 = 12 + (n-1)3$

$99 = 12 + 3n - 3$

$99 = 9 + 3n$

$90 = 3n$

$n = 30$

等差数列の和は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ で表される。

$S_{30} = \frac{30}{2}(12 + 99) = 15(111) = 1665$

3. 最終的な答え

1665

## 問題 12

1. 問題の内容

以下の和を求めよ。

(1) 1+2+3+...+40

(2) 1+2+3+...+100

2. 解き方の手順

(1) これは初項1、末項40、項数40の等差数列の和である。

$S_{40} = \frac{40}{2}(1 + 40) = 20(41) = 820$

(2) これは初項1、末項100、項数100の等差数列の和である。

$S_{100} = \frac{100}{2}(1 + 100) = 50(101) = 5050$

3. 最終的な答え

(1) 820

(2) 5050

## 問題 13

1. 問題の内容

以下の等差数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

(1) 2, 5, 8, 11,..., 3n-1

(2) 10, 7, 4, 1,...

2. 解き方の手順

(1) 初項は2、公差は3である。末項は $3n - 1$ である。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2 + 3n - 1) = \frac{n}{2}(3n + 1) = \frac{3n^2 + n}{2}$

(2) 初項は10、公差は-3である。

$S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\} = \frac{n}{2}\{2(10) + (n-1)(-3)\} = \frac{n}{2}(20 - 3n + 3) = \frac{n}{2}(23 - 3n) = \frac{23n - 3n^2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{3n^2 + n}{2}$

(2) $S_n = \frac{23n - 3n^2}{2}$