関数 $f(\theta) = \cos 2\theta + 2\sin\theta + 2$ (ただし、$0 \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $t = \sin\theta$ とおいて、$f(\theta)$ を $t$ の式で表し、$t$ の値の取りうる範囲を求め、それに応じて $f(\theta)$ の最大値と最小値を求める。 (2) $0 \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$ の範囲において、$t = \sin\theta$ を満たす $\theta$ の個数を、$t$ の値によって分類し、それを利用して方程式 $f(\theta) = k$ を満たす $\theta$ の個数を、$k$ の値によって分類する。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \cos 2\theta + 2\sin\theta + 2$ (ただし、$0 \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $t = \sin\theta$ とおいて、$f(\theta)$ を $t$ の式で表し、$t$ の値の取りうる範囲を求め、それに応じて $f(\theta)$ の最大値と最小値を求める。

(2) $0 \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$ の範囲において、$t = \sin\theta$ を満たす $\theta$ の個数を、$t$ の値によって分類し、それを利用して方程式 $f(\theta) = k$ を満たす $\theta$ の個数を、$k$ の値によって分類する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(\theta)$ を $t$ で表す。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ であるから、

$f(\theta) = 1 - 2\sin^2\theta + 2\sin\theta + 2 = -2\sin^2\theta + 2\sin\theta + 3$

よって、$f(\theta) = -2t^2 + 2t + 3$

次に、$t$ の取りうる範囲を求める。$0 \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$ より、$0 \le \sin\theta \le 1$ である。$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin\theta = 1$ であり、$\theta = 0$ のとき $\sin\theta = 0$ である。また、$\theta = \frac{5}{6}\pi$ のとき、$\sin\theta = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ である。

したがって、$0 \le t \le 1$

$f(\theta) = -2t^2 + 2t + 3 = -2(t^2 - t) + 3 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 3 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{2}$

$t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{7}{2}$ をとる。$\sin\theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$。

$t = 0$ のとき最小値 $3$ をとる。$\sin\theta = 0$ より、$\theta = 0$。

$t = 1$ のとき $f(\theta) = -2 + 2 + 3 = 3$ をとる。$\sin\theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$。

よって、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のとき最大値 $\frac{7}{2}$、$\theta = 0$ のとき最小値 $3$ をとる。

(2)

$0 \le \theta \le \frac{5}{6}\pi$ において、$t = \sin\theta$ を満たす $\theta$ の個数について。

$0 \le t < \frac{1}{2}$ のとき 1個。

$t = \frac{1}{2}$ のとき 2個。

$\frac{1}{2} < t \le 1$ のとき 1個。

$f(\theta) = k$ より、$-2t^2 + 2t + 3 = k$

$-2t^2 + 2t + (3-k) = 0$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8(3-k)}}{-4} = \frac{1 \mp \sqrt{1 + 2(3-k)}}{2} = \frac{1 \mp \sqrt{7-2k}}{2}$

$0 \le t \le 1$ であり、$t$ の個数が $\theta$ の個数に影響する。

$3 < k < \frac{7}{2}$ のとき、2個

$k = 3$ または $k = \frac{7}{2}$ のとき、1個

$k < 3$ または $\frac{7}{2} < k$ のとき、0個

3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = -2t^2 + 2t + 3$

$0 \le t \le 1$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のとき最大値 $\frac{7}{2}$

$\theta = 0$ のとき最小値 $3$

(2)

$0 \le t < \frac{1}{2}$ のとき 1個

$t = \frac{1}{2}$ のとき 2個

$\frac{1}{2} < t \le 1$ のとき 1個

$3 < k < \frac{7}{2}$ のとき 2個

$k = 3$ または $k = \frac{7}{2}$ のとき 1個

$k < 3$ または $\frac{7}{2} < k$ のとき 0個