次の方程式を解く問題です。 (1) $x^3 = -8$ (2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$ (3) $x^3 + 2x - 3 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $x^3 = -8$

(2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$

(3) $x^3 + 2x - 3 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = -8$

$x^3 + 8 = 0$

$(x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

したがって、$x = -2$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$

$x^2 - 2x + 4 = 0$を解くと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

したがって、解は$x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$

$x^2 = t$ とおくと、$t^2 + 5t - 24 = 0$

$(t+8)(t-3) = 0$

したがって、$t = -8$ または $t = 3$

$x^2 = -8$ より $x = \pm \sqrt{-8} = \pm 2\sqrt{2}i$

$x^2 = 3$ より $x = \pm \sqrt{3}$

したがって、解は$x = \pm 2\sqrt{2}i, \pm \sqrt{3}$

(3) $x^3 + 2x - 3 = 0$

$x = 1$を代入すると、$1 + 2 - 3 = 0$なので、$x=1$は解である。

したがって、$x^3 + 2x - 3$ は $x-1$ を因数に持つ。

$x^3 + 2x - 3 = (x-1)(x^2 + x + 3)$

したがって、$x = 1$ または $x^2 + x + 3 = 0$

$x^2 + x + 3 = 0$を解くと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{11}i}{2}$

したがって、解は$x = 1, \frac{-1 + \sqrt{11}i}{2}, \frac{-1 - \sqrt{11}i}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(2) $x = \pm 2\sqrt{2}i, \pm \sqrt{3}$

(3) $x = 1, \frac{-1 + \sqrt{11}i}{2}, \frac{-1 - \sqrt{11}i}{2}$