与えられた定積分を計算して、空欄を埋める問題です。

はい、承知いたしました。画像にある定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算して、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{1} 3x^2(x^3+1)^5 dx$

$u = x^3 + 1$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$ となります。

積分範囲は、 $x = -1$ のとき $u = (-1)^3 + 1 = 0$、 $x = 1$ のとき $u = 1^3 + 1 = 2$ となります。

したがって、

$\int_{-1}^{1} 3x^2(x^3+1)^5 dx = \int_{0}^{2} u^5 du = \left[\frac{1}{6}u^6\right]_0^2 = \frac{1}{6}(2^6 - 0^6) = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$

よって、空欄には 32と3が入ります。

(2) $\int_0^1 e^{5x+2} dx$

$\int_0^1 e^{5x+2} dx = e^2 \int_0^1 e^{5x} dx = e^2 \left[\frac{1}{5} e^{5x}\right]_0^1 = \frac{e^2}{5}(e^5 - e^0) = \frac{e^7 - e^2}{5}$

よって、空欄には7,2,5が入ります。

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$

部分積分を用います。

$u = x, dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx, v = -\cos x$ となります。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = \left[-x\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x) dx = \left[-\frac{\pi}{2}\cos(\frac{\pi}{2}) - (-0\cos 0)\right] + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

$= 0 + \left[\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$

よって、空欄には1が入ります。

(4) $\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^3 \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx$

$x = 3\sin\theta$ と置換すると、$dx = 3\cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲は、$x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ のとき $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$、 $x = 3$ のとき $\sin\theta = 1$ より $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

$\int_{\frac{3}{\sqrt{2}}}^3 \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{\sqrt{9-9\sin^2\theta}} 3\cos\theta d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{9\cos\theta}{3\cos\theta} d\theta = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 3 d\theta = \left[3\theta\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = 3(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 3\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4}\pi$

よって、空欄には3,4が入ります。

(5) $\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x^2} dx$

$\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{1}{x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^1 x^{-2} dx = \left[-x^{-1}\right]_{\frac{1}{2}}^1 = \left[-\frac{1}{x}\right]_{\frac{1}{2}}^1 = -1 - (-2) = 1$

よって、空欄には1が入ります。

(6) $\int_1^e \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲は、$x = 1$ のとき $u = \log 1 = 0$、 $x = e$ のとき $u = \log e = 1$ となります。

$\int_1^e \frac{\log x}{x} dx = \int_0^1 u du = \left[\frac{1}{2}u^2\right]_0^1 = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$

よって、空欄には1,2が入ります。

(7) $\int_1^2 x\sqrt{x-1} dx$

$u = x-1$ と置換すると、$x = u+1$, $du = dx$ となります。

積分範囲は、$x = 1$ のとき $u = 1-1 = 0$、 $x = 2$ のとき $u = 2-1 = 1$ となります。

$\int_1^2 x\sqrt{x-1} dx = \int_0^1 (u+1)\sqrt{u} du = \int_0^1 (u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}}) du = \left[\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = \frac{2}{5} + \frac{2}{3} = \frac{6+10}{15} = \frac{16}{15}$

よって、空欄には16,15が入ります。

(8) $\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx$

$u = e^x-1$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。

積分範囲は、$x = 1$ のとき $u = e^1 - 1 = e-1$、 $x = e$ のとき $u = e^e - 1$ となります。

$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx = \int_{e-1}^{e^e-1} \frac{1}{u} du = \left[\log |u|\right]_{e-1}^{e^e-1} = \log(e^e-1) - \log(e-1) = \log(\frac{e^e-1}{e-1})$

別解：

$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx = \left[\log(e^x-1)\right]_1^e = \log(e^e - 1) - \log(e-1) = \log(e^e-1) - \log(e-1)$

問題文より、$\log(e + \text{空欄})$となるので、与えられた式と答えを比較すると、答えの形式が間違っています。

$f(x)=\log(e^x-1)$

$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1}dx= \log(e^e-1)-\log(e-1)$

問題に誤りがないと仮定すると、

$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx = [\log|e^x-1|]_1^e = \log(e^e-1)-\log(e-1)= \log\frac{e^e-1}{e-1} \neq \log (e+16)$

問題文を$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx = \log(e^{e-1}-e^{-1})$ と読み替えることは可能です。

もし問題が

$\int_1^e \frac{1}{1-e^{-x}} dx$ とすれば、

$\int_1^e \frac{e^x}{e^x-1}dx=log(e^e-1)-log(e-1)=log\frac{e^e-1}{e-1}$

$\int_1^e \frac{1}{1-e^{-x}} dx = \int_1^e \frac{e^x}{e^x-1} dx = [\log |e^x-1|]_1^e = log(e^e-1)-log(e-1)$

$\log\frac{e^e-1}{e-1}=\log(e+\boxed{...})$ は成立しないため、別の解法を使用することにする。

$e^x-1=t, e^xdx=dt$

$\int_{e-1}^{e^e-1}\frac{1}{t}dt=\log|t|\Big|_{e-1}^{e^e-1} = log(e^e-1)-log(e-1)$

式変形できないため、答えは求まらない.

３. 最終的な答え

(1) 32/3

(2) (e^7 - e^2)/5

(3) 1

(4) 3/4

(5) 1

(6) 1/2

(7) 16/15

(8) 解答不能。ただし、問題が修正されていると仮定した場合も、$\log(e+16)$の形に変形することは困難。