関数 $\sqrt{1-x^2}$ を、3つの関数 $f$, $g$, $h$ の合成 $h \circ g \circ f$ に分解せよ。

1. 問題の内容

関数 $\sqrt{1-x^2}$ を、3つの関数 $f$, $g$, $h$ の合成 $h \circ g \circ f$ に分解せよ。

2. 解き方の手順

関数 $\sqrt{1-x^2}$ を分解する方法は複数考えられます。一つの例として、以下の手順で分解します。

ステップ1: 一番内側の関数 $f(x)$ を定義します。ここでは、

$f(x) = x^2$

と定義します。

ステップ2: 次の関数 $g(x)$ を定義します。 $g(x)$ は $f(x)$ の結果を受け取り、その結果から1を引いて、マイナス1をかけたものとします。つまり、

$g(x) = 1 - x$

と定義します。

ステップ3: 最後に、一番外側の関数 $h(x)$ を定義します。$h(x)$ は $g(f(x))$ の結果を受け取り、その平方根を返します。つまり、

$h(x) = \sqrt{x}$

と定義します。

このように定義すると、$h(g(f(x)))$ は

$h(g(f(x))) = h(g(x^2)) = h(1-x^2) = \sqrt{1-x^2}$

となり、求める関数になります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2$

$g(x) = 1-x$

$h(x) = \sqrt{x}$