関数 $f(x) = e^x + 1$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、 $y = f^{-1}(x)$ のグラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x + 1$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、 $y = f^{-1}(x)$ のグラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

1. $y = f(x)$ とおきます。つまり、 $y = e^x + 1$ です。

2. $x$ について解きます。

$y = e^x + 1$ より

$y - 1 = e^x$

両辺の自然対数を取ると、

$\ln(y - 1) = x$

3. $x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めます。

$y = \ln(x - 1)$

したがって、$f^{-1}(x) = \ln(x - 1)$ となります。

4. $y = f^{-1}(x) = \ln(x - 1)$ のグラフの概形を描きます。

$\ln x$ のグラフを $x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したグラフになります。

定義域は $x > 1$ です。

漸近線は $x = 1$ です。

$x$ 切片は $x = 2$ です。

グラフは単調増加です。

3. 最終的な答え

逆関数: $f^{-1}(x) = \ln(x - 1)$

グラフの概形:

- 定義域は $x > 1$。

- 漸近線は $x = 1$。

- $x$ 切片は $x = 2$。

- グラフは単調増加。