放物線 $y = 2x^2 + 3x$ を平行移動した曲線で、点 $(1, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 3$ 上にある放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + 3x$ を平行移動した曲線で、点 $(1, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 3$ 上にある放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、平行移動した放物線の方程式を $y = 2(x - p)^2 + q$ とおく。これは、与えられた放物線 $y = 2x^2 + 3x$ と $x^2$ の係数が同じであることから、$x^2$ の係数が2の放物線である事がわかるため。

次に、頂点が直線 $y = 2x - 3$ 上にあるという条件から、$q = 2p - 3$ が成り立つ。したがって、放物線の方程式は

$y = 2(x - p)^2 + 2p - 3$ と表せる。

さらに、この放物線が点 $(1, 3)$ を通るという条件から、$x = 1$、$y = 3$ を代入すると、

$3 = 2(1 - p)^2 + 2p - 3$ となる。

この式を整理して、$p$ について解くと、

$3 = 2(1 - 2p + p^2) + 2p - 3$

$3 = 2 - 4p + 2p^2 + 2p - 3$

$2p^2 - 2p - 4 = 0$

$p^2 - p - 2 = 0$

$(p - 2)(p + 1) = 0$

よって、$p = 2, -1$ となる。

$p = 2$ のとき、$q = 2p - 3 = 2(2) - 3 = 1$ なので、$y = 2(x - 2)^2 + 1 = 2(x^2 - 4x + 4) + 1 = 2x^2 - 8x + 8 + 1 = 2x^2 - 8x + 9$ となる。

$p = -1$ のとき、$q = 2p - 3 = 2(-1) - 3 = -5$ なので、$y = 2(x + 1)^2 - 5 = 2(x^2 + 2x + 1) - 5 = 2x^2 + 4x + 2 - 5 = 2x^2 + 4x - 3$ となる。

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 8x + 9$ および $y = 2x^2 + 4x - 3$