与えられた対数計算の結果を既約分数で求め、その分子と分母をそれぞれ[ア]と[イ]に答える問題です。 問題の式は $\log_3{\sqrt{3}} - \log_3{\sqrt[3]{9}} + \log_3{\frac{1}{9}} = \frac{[ア]}{[イ]}$ です。

1. 問題の内容

与えられた対数計算の結果を既約分数で求め、その分子と分母をそれぞれ[ア]と[イ]に答える問題です。 問題の式は

$\log_3{\sqrt{3}} - \log_3{\sqrt[3]{9}} + \log_3{\frac{1}{9}} = \frac{[ア]}{[イ]}$

です。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して計算します。

まず、それぞれの対数を計算しやすい形に変形します。

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ なので、 $\log_3{\sqrt{3}} = \log_3{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$

$\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}$ なので、 $\log_3{\sqrt[3]{9}} = \log_3{3^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3}$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$ なので、 $\log_3{\frac{1}{9}} = \log_3{3^{-2}} = -2$

したがって、

$\log_3{\sqrt{3}} - \log_3{\sqrt[3]{9}} + \log_3{\frac{1}{9}} = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 2$

通分して計算します。

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 2 = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} - \frac{12}{6} = \frac{3 - 4 - 12}{6} = \frac{-13}{6}$

よって、$\frac{[ア]}{[イ]} = \frac{-13}{6}$

3. 最終的な答え

ア: -13

イ: 6