与えられた無限級数の和を求める問題です。 $ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}) $

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求める問題です。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n})$

2. 解き方の手順

この無限級数は、2つの等比級数の和として表すことができます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n}$

それぞれの等比級数の和を求めます。

一つ目の等比級数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n$ は、初項 $a = \frac{1}{4}$、公比 $r = \frac{1}{4}$ の等比級数です。 $|r| < 1$ なので収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ で計算できます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

二つ目の等比級数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n$ は、初項 $a = \frac{1}{3}$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比級数の2倍です。 $|r| < 1$ なので収束し、その和は $\frac{a}{1-r}$ で計算できます。

$2\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n = 2 \times \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 \times \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

したがって、与えられた無限級数の和は、それぞれの等比級数の和の合計になります。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

4/3