与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 3^n}{4^n}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 3^n}{4^n}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた級数を2つの級数に分解します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 3^n}{4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{4^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{4^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{4}\right)^n - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n$

それぞれの級数は公比がそれぞれ $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ と $\frac{3}{4}$ の等比級数です。

等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} r^n$ は $|r| < 1$ のとき収束し、その値は $\frac{r}{1-r}$ です。

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 3^n}{4^n} = 1 - 3 = -2$

3. 最終的な答え

-2