次の無限級数の和を求める問題です。 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n})$

1. 問題の内容

次の無限級数の和を求める問題です。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n})$

2. 解き方の手順

無限級数を二つの級数に分けます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n}$

次に、それぞれの無限等比級数の和を計算します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = 2 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

よって、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4^n} + \frac{2}{3^n}) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$