無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(2n-1)$ が発散することを示してください。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(2n-1)$ が発散することを示してください。

2. 解き方の手順

無限級数が収束するための必要条件は、数列 $\{a_n\}$ について $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ が成立することです。

この問題の場合、$a_n = (-1)^{n-1}(2n-1)$ です。

数列 $\{a_n\}$ が収束するためには、$n$ が無限大に近づくとき、$a_n$ が0に収束する必要があります。

しかし、$n$ が無限大に近づくとき、$|2n-1|$ も無限大に近づきます。

したがって、数列 $\{a_n\}$ は0に収束しません。

$a_n$ は、$n$ が奇数のとき正の値を取り、偶数のとき負の値を取ります。

具体的には、$a_1=1, a_2=-3, a_3=5, a_4=-7, a_5=9, ...$ のようになります。

$\lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |(-1)^{n-1}(2n-1)| = \lim_{n \to \infty} (2n-1) = \infty$

$\lim_{n \to \infty} a_n$ は存在しません（$\infty$ に発散するわけでもありません。振動します）。

したがって、数列 $\{a_n\}$ は0に収束しません。

したがって、この無限級数は発散します。

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(2n-1)$ は発散する。