与えられた6つの数列の極限を求めます。数列の第n項は以下の式で与えられています。 (1) $(\frac{1}{3})^n$ (2) $(\frac{4}{3})^n$ (3) $(-\frac{3}{4})^n$ (4) $(-3)^n$ (5) $(\sqrt{2}-1)^n$ (6) $(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$

1. 問題の内容

与えられた6つの数列の極限を求めます。数列の第n項は以下の式で与えられています。

(1) $(\frac{1}{3})^n$

(2) $(\frac{4}{3})^n$

(3) $(-\frac{3}{4})^n$

(4) $(-3)^n$

(5) $(\sqrt{2}-1)^n$

(6) $(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$

2. 解き方の手順

数列$\{r^n\}$の極限は、$r$の値によって以下のように分類されます。

- $|r|<1$のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

- $r=1$のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = 1$

- $r>1$のとき、$\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$

- $r \le -1$のとき、振動し、極限は存在しません。

(1) $r = \frac{1}{3}$、$|\frac{1}{3}| < 1$なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n = 0$

(2) $r = \frac{4}{3}$、$\frac{4}{3} > 1$なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{4}{3})^n = \infty$

(3) $r = -\frac{3}{4}$、$|-\frac{3}{4}| < 1$なので、$\lim_{n \to \infty} (-\frac{3}{4})^n = 0$

(4) $r = -3$、$-3 < -1$なので、極限は存在しません (振動)。

(5) $r = \sqrt{2}-1$、$0 < \sqrt{2}-1 < 1$なので、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{2}-1)^n = 0$

(6) $r = \frac{1}{1-\sqrt{2}}$。まず、$r$の絶対値を計算します。

$|r| = |\frac{1}{1-\sqrt{2}}| = |\frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}| = |\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}| = |-1-\sqrt{2}| = 1+\sqrt{2}$

$1+\sqrt{2} > 1$なので、$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$は振動します。$\frac{1}{1-\sqrt{2}} < -1$ なので、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\infty$

(3) 0

(4) 極限は存在しない (振動)

(5) 0

(6) 極限は存在しない (振動)