数列 ${(2x)^n}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 ${(2x)^n}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ が収束するための条件は以下の通りです。

* $-1 < r \leq 1$ のとき収束します。

与えられた数列 ${(2x)^n}$ が収束するためには、$r = 2x$ が上記の条件を満たす必要があります。つまり、

$-1 < 2x \leq 1$ が成り立つ必要があります。

この不等式を解いて、$x$ の範囲を求めます。

$-1 < 2x \leq 1$

$-\frac{1}{2} < x \leq \frac{1}{2}$

次に、それぞれの $x$ の範囲での極限値を求めます。

* $-1 < 2x < 1$ のとき ($-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき) $\lim_{n \to \infty} (2x)^n = 0$

* $2x = 1$ のとき ($x = \frac{1}{2}$ のとき) $\lim_{n \to \infty} (2x)^n = \lim_{n \to \infty} 1^n = 1$

3. 最終的な答え

$x$ の値の範囲: $-\frac{1}{2} < x \leq \frac{1}{2}$

極限値:

* $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、0

* $x = \frac{1}{2}$ のとき、1