以下の6つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 1}{3^n + 5}$ (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n}$ (5) $\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n)$ (6) $\lim_{n \to \infty} [(-2)^n - 2^{2n}]$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、それぞれ解説と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

以下の6つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 1}{3^n + 5}$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n}$

(5) $\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n)$

(6) $\lim_{n \to \infty} [(-2)^n - 2^{2n}]$

2. 解き方の手順

(1)

分子と分母を$2^n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{2^n}}{1 + \frac{3}{2^n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{5}{2^n} \to 0$、$\frac{3}{2^n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{2^n}}{1 + \frac{3}{2^n}} = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$

(2)

分子と分母を$3^n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^n - 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n}{1 - \frac{4}{3^n}}$

$n \to \infty$のとき、$(\frac{2}{3})^n \to 0$、$\frac{4}{3^n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n}{1 - \frac{4}{3^n}} = \frac{0}{1 - 0} = 0$

(3)

分子と分母を$4^n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 1}{3^n + 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{4^n}}{(\frac{3}{4})^n + \frac{5}{4^n}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{4^n} \to 0$、$(\frac{3}{4})^n \to 0$、$\frac{5}{4^n} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{4^n}}{(\frac{3}{4})^n + \frac{5}{4^n}} = \frac{1 - 0}{0 + 0} = \infty$

(4)

分子と分母を$4^n$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n}{4^n - (-3)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-\frac{1}{2})^n}{1 - (-\frac{3}{4})^n}$

$n \to \infty$のとき、$(-\frac{1}{2})^n \to 0$、$(-\frac{3}{4})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-\frac{1}{2})^n}{1 - (-\frac{3}{4})^n} = \frac{0}{1 - 0} = 0$

(5)

$5^n$でくくります。

$\lim_{n \to \infty} (5^n - 4^n) = \lim_{n \to \infty} 5^n (1 - (\frac{4}{5})^n)$

$n \to \infty$のとき、$5^n \to \infty$、$(\frac{4}{5})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} 5^n (1 - (\frac{4}{5})^n) = \infty \cdot (1 - 0) = \infty$

(6)

$\lim_{n \to \infty} [(-2)^n - 2^{2n}] = \lim_{n \to \infty} [(-2)^n - 4^n]$

$4^n$でくくります。

$\lim_{n \to \infty} [(-2)^n - 4^n] = \lim_{n \to \infty} 4^n [(\frac{-2}{4})^n - 1] = \lim_{n \to \infty} 4^n [(-\frac{1}{2})^n - 1]$

$n \to \infty$のとき、$4^n \to \infty$、$(-\frac{1}{2})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} 4^n [(-\frac{1}{2})^n - 1] = \infty \cdot (0 - 1) = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 0

(3) $\infty$

(4) 0

(5) $\infty$

(6) $-\infty$