次の条件で定められる数列$\{a_n\}$の極限を求める問題です。 (1) $a_1 = 0, a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2} a_n$ (n = 1, 2, 3, ...) (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + 1$ (n = 1, 2, 3, ...)

1. 問題の内容

次の条件で定められる数列$\{a_n\}$の極限を求める問題です。

(1) $a_1 = 0, a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2} a_n$ (n = 1, 2, 3, ...)

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{3}{4} a_n + 1$ (n = 1, 2, 3, ...)

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$の極限を$\alpha$とすると、漸化式$a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2}a_n$において$n \to \infty$とすることで$\alpha = 1 - \frac{1}{2}\alpha$が成り立ちます。これを解くことで$\alpha$を求めます。

次に、数列$\{a_n - \alpha\}$が等比数列であることを示し、$\lim_{n \to \infty} (a_n - \alpha) = 0$となることを確かめます。

(2) 数列$\{a_n\}$の極限を$\beta$とすると、漸化式$a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + 1$において$n \to \infty$とすることで$\beta = \frac{3}{4}\beta + 1$が成り立ちます。これを解くことで$\beta$を求めます。

次に、数列$\{a_n - \beta\}$が等比数列であることを示し、$\lim_{n \to \infty} (a_n - \beta) = 0$となることを確かめます。

(1)

まず、極限値を$\alpha$とすると、$\alpha = 1 - \frac{1}{2}\alpha$より、$\frac{3}{2}\alpha = 1$となり、$\alpha = \frac{2}{3}$となります。

次に、$a_{n+1} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{2}a_n - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}a_n = -\frac{1}{2}(a_n - \frac{2}{3})$となります。

したがって、数列$\{a_n - \frac{2}{3}\}$は初項$a_1 - \frac{2}{3} = 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$、公比$-\frac{1}{2}$の等比数列です。

よって、$a_n - \frac{2}{3} = (-\frac{2}{3}) (-\frac{1}{2})^{n-1}$となります。

$\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{2})^{n-1} = 0$より、$\lim_{n \to \infty} (a_n - \frac{2}{3}) = 0$となります。

したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{3}$となります。

(2)

まず、極限値を$\beta$とすると、$\beta = \frac{3}{4}\beta + 1$より、$\frac{1}{4}\beta = 1$となり、$\beta = 4$となります。

次に、$a_{n+1} - 4 = \frac{3}{4}a_n + 1 - 4 = \frac{3}{4}a_n - 3 = \frac{3}{4}(a_n - 4)$となります。

したがって、数列$\{a_n - 4\}$は初項$a_1 - 4 = 1 - 4 = -3$、公比$\frac{3}{4}$の等比数列です。

よって、$a_n - 4 = (-3) (\frac{3}{4})^{n-1}$となります。

$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{4})^{n-1} = 0$より、$\lim_{n \to \infty} (a_n - 4) = 0$となります。

したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n = 4$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{3}$

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$