問題は、与えられた無限級数が収束することを示し、その和を求めることです。 (1) $\frac{1}{2\cdot5} + \frac{1}{5\cdot8} + \frac{1}{8\cdot11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + \cdots$ (2) $\frac{1}{2\cdot4} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{4\cdot6} + \cdots + \frac{1}{(n+1)(n+3)} + \cdots$

1. 問題の内容

問題は、与えられた無限級数が収束することを示し、その和を求めることです。

(1) $\frac{1}{2\cdot5} + \frac{1}{5\cdot8} + \frac{1}{8\cdot11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + \cdots$

(2) $\frac{1}{2\cdot4} + \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{4\cdot6} + \cdots + \frac{1}{(n+1)(n+3)} + \cdots$

2. 解き方の手順

(1) 無限級数の第n項を部分分数分解します。

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{A}{3n-1} + \frac{B}{3n+2}$

$1 = A(3n+2) + B(3n-1)$

$n$ の係数について $3A + 3B = 0$ より $A = -B$

定数項について $2A - B = 1$

$2A - (-A) = 3A = 1$ より $A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

よって、

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$

第n項までの部分和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{11} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right)$

無限級数の和は、部分和の極限です。

$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

(2) 無限級数の第n項を部分分数分解します。

$\frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+3}$

$1 = A(n+3) + B(n+1)$

$n$ の係数について $A + B = 0$ より $B = -A$

定数項について $3A + B = 1$

$3A - A = 2A = 1$ より $A = \frac{1}{2}$

$B = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{1}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3} \right)$

第n項までの部分和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+3} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{6} - \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} \right)$

無限級数の和は、部分和の極限です。

$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{5}{6} - \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{5}{12}$