次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求める。 (1) 初項 1, 公比 $\frac{1}{4}$ (2) 初項 2, 公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (3) $1 + 2 + 4 + \dots$ (4) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \dots$ (5) $5 + 2\sqrt{5} + 4 + \dots$ (6) $-2 + 2 - 2 + \dots$

1. 問題の内容

次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束するときはその和を求める。

(1) 初項 1, 公比 $\frac{1}{4}$

(2) 初項 2, 公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(3) $1 + 2 + 4 + \dots$

(4) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \dots$

(5) $5 + 2\sqrt{5} + 4 + \dots$

(6) $-2 + 2 - 2 + \dots$

2. 解き方の手順

無限等比級数 $a + ar + ar^2 + \dots$ が収束するための条件は $|r| < 1$ であり、そのときの和は $\frac{a}{1-r}$ である。

(1) 初項 $a = 1$, 公比 $r = \frac{1}{4}$. $|r| = \frac{1}{4} < 1$ なので収束する。和は $\frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

(2) 初項 $a = 2$, 公比 $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$. $|r| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ なので収束する。和は $\frac{2}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2 - 1} = 4 + 2\sqrt{2}$.

(3) 初項 $a = 1$, 公比 $r = 2$. $|r| = 2 > 1$ なので発散する。

(4) 初項 $a = 1$, 公比 $r = -\frac{1}{2}$. $|r| = \frac{1}{2} < 1$ なので収束する。和は $\frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.

(5) 初項 $a = 5$. 公比 $r = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. $|r| = \frac{2}{\sqrt{5}} < 1$ なので収束する。和は $\frac{5}{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2} = \frac{5\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{25 + 10\sqrt{5}}{5 - 4} = 25 + 10\sqrt{5}$.

(6) 初項 $a = -2$, 公比 $r = -1$. $|r| = 1$ なので、収束しない。振動する。

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $\frac{4}{3}$.

(2) 収束し、和は $4 + 2\sqrt{2}$.

(3) 発散する。

(4) 収束し、和は $\frac{2}{3}$.

(5) 収束し、和は $25 + 10\sqrt{5}$.

(6) 発散する。