ある大学の学生60人を対象に、講義P, Q, Rの履修状況を調査した結果が与えられています。 (1) PとQを両方履修している学生が12人であるとき、PかQの少なくとも1つを履修している学生の人数を求めます。 (2) QとRを履修している学生が10人、RとPを履修している学生が8人であるとき、P, Q, Rすべてを履修している学生の人数を求めます。 (3) P, Q, Rのうち1つのみを履修している学生の合計人数を求めます。

1. 問題の内容

ある大学の学生60人を対象に、講義P, Q, Rの履修状況を調査した結果が与えられています。

(1) PとQを両方履修している学生が12人であるとき、PかQの少なくとも1つを履修している学生の人数を求めます。

(2) QとRを履修している学生が10人、RとPを履修している学生が8人であるとき、P, Q, Rすべてを履修している学生の人数を求めます。

(3) P, Q, Rのうち1つのみを履修している学生の合計人数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

PかQの少なくとも1つを履修している学生の人数を求めるには、包含と排除の原理を使います。

$n(P \cup Q) = n(P) + n(Q) - n(P \cap Q)$

ここで、$n(P)$はPを履修している学生の数、$n(Q)$はQを履修している学生の数、$n(P \cap Q)$はPとQの両方を履修している学生の数、$n(P \cup Q)$はPまたはQを履修している学生の数です。

問題文より、$n(P) = 38$, $n(Q) = 24$, $n(P \cap Q) = 12$なので、

$n(P \cup Q) = 38 + 24 - 12 = 62 - 12 = 50$

したがって、PかQの少なくとも1つを履修している学生の数は50人です。

(2)

まず、全体が60人で、誰も履修していない人が1人いるので、$n(P \cup Q \cup R) = 60 - 1 = 59$です。

また、$n(P)=38$, $n(Q)=24$, $n(R)=20$, $n(Q \cap R)=10$, $n(R \cap P)=8$です。

包含と排除の原理より、

$n(P \cup Q \cup R) = n(P) + n(Q) + n(R) - n(P \cap Q) - n(Q \cap R) - n(R \cap P) + n(P \cap Q \cap R)$

$59 = 38 + 24 + 20 - 12 - 10 - 8 + n(P \cap Q \cap R)$

$59 = 82 - 30 + n(P \cap Q \cap R)$

$59 = 52 + n(P \cap Q \cap R)$

$n(P \cap Q \cap R) = 59 - 52 = 7$

したがって、P, Q, Rすべてを履修している学生の数は7人です。

(3)

Pのみを履修している学生の数は $n(P) - n(P \cap Q) - n(P \cap R) + n(P \cap Q \cap R) = 38 - 12 - 8 + 7 = 25$

Qのみを履修している学生の数は $n(Q) - n(P \cap Q) - n(Q \cap R) + n(P \cap Q \cap R) = 24 - 12 - 10 + 7 = 9$

Rのみを履修している学生の数は $n(R) - n(Q \cap R) - n(P \cap R) + n(P \cap Q \cap R) = 20 - 10 - 8 + 7 = 9$

したがって、P, Q, Rのうち1つのみを履修している学生の合計人数は $25 + 9 + 9 = 43$人です。

3. 最終的な答え

(1) 50人

(2) 7人

(3) 43人