## 問題 (2)

## 問題 (2)

1から100までの整数Xを無作為に選んだとき、以下の確率を求めます。

(a) Xが6である確率

(b) Xが5である確率

さらに、Xは3で割ると2余る数であるという条件が加わります。

(c) Xが5である確率

## 解き方の手順 (2)

(a) 1から100までの整数は100個あります。Xが6であるのは、X=6の場合だけなので、確率は

$1/100$

となります。

(b) 1から100までの整数で2で割ると1余る数は、

$1, 3, 5, ..., 99$

の50個です。

このうち、Xが5であるのは、X=5の場合だけなので、確率は

$1/50$

となります。

(c) Xは3で割ると2余る数なので、

$X = 3k + 2$ (kは整数)

と表せます。

$1 \le X \le 100$より、

$1 \le 3k+2 \le 100$

$-1 \le 3k \le 98$

$-1/3 \le k \le 98/3 = 32.66...$

kは整数なので、$0 \le k \le 32$です。

したがって、条件を満たすXは33個存在します。

Xが5となるのは、$3k+2 = 5$のとき、$3k = 3$、$k=1$です。

したがって、条件を満たす33個のXのうち、Xが5であるのは1通りだけなので、確率は

$1/33$

となります。

## 最終的な答え (2)

(a) $1/100$

(b) $1/50$

(c) $1/33$

## 問題 (3)

ジョーカーを除いた52枚のトランプから1枚引いたとき、それが赤いマーク(ハートまたはダイヤ)であるとわかっている状態で、そのカードがハートの絵札（11, 12, 13）である確率を求めます。

## 解き方の手順 (3)

まず、赤いマークのカードは何枚あるかを考えます。ハートとダイヤはそれぞれ13枚ずつなので、赤いマークのカードは26枚です。

次に、ハートの絵札は3枚（11, 12, 13）あります。

したがって、赤いマークであるという条件の下で、ハートの絵札である確率は、

(ハートの絵札の数) / (赤いマークのカードの数)

で計算できます。

## 最終的な答え (3)

$3/26$

## 問題 (4)

5本のうち2本が当たりのくじを、S, F, Cの3人がこの順番に引きます（引いたくじは戻さない）。S, F, Cそれぞれが当たりを引く確率を求めます。

## 解き方の手順 (4)

* **Sが当たりを引く確率:**

5本のうち2本が当たりなので、Sが最初に当たりを引く確率は

$2/5$

* **Fが当たりを引く確率:**

Fが当たりを引く確率は、Sが当たった場合と外れた場合で場合分けして考えます。

* Sが当たった場合：Sが当たりを引く確率は$2/5$。残りのくじは4本で当たりは1本なので、Fが当たりを引く確率は$1/4$。したがって、この場合の確率は $(2/5) * (1/4) = 2/20$。

* Sが外れた場合：Sが外れを引く確率は$3/5$。残りのくじは4本で当たりは2本なので、Fが当たりを引く確率は$2/4$。したがって、この場合の確率は $(3/5) * (2/4) = 6/20$。

したがって、Fが当たりを引く確率は、

$2/20 + 6/20 = 8/20 = 2/5$

* **Cが当たりを引く確率:**

Cが当たりを引く確率は、SとFが当たった場合、Sが当たりFが外れた場合、Sが外れFが当たった場合、SとFが外れた場合で場合分けして考えます。

* S, Fが当たりの場合：$(2/5) * (1/4) * (0/3) = 0$

* Sが当たり、Fが外れの場合：$(2/5) * (3/4) * (1/3) = 6/60$

* Sが外れ、Fが当たりの場合：$(3/5) * (2/4) * (1/3) = 6/60$

* S, Fが外れの場合：$(3/5) * (2/4) * (2/3) = 12/60$

したがって、Cが当たりを引く確率は、

$0 + 6/60 + 6/60 + 12/60 = 24/60 = 2/5$

## 最終的な答え (4)

S: $2/5$

F: $2/5$

C: $2/5$

## 問題 (5)

事象A, Bが独立であるとき、事象A, Bの補集合Bcが独立であることを証明します。

## 解き方の手順 (5)

事象AとBが独立であるとき、

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

が成り立ちます。

事象AとBcが独立であることを示すには、

$P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c)$

が成り立つことを証明する必要があります。

まず、$P(A)$を、$P(A \cap B)$と$P(A \cap B^c)$を用いて表します。

$A = (A \cap B) \cup (A \cap B^c)$

また、$A \cap B$と$A \cap B^c$は互いに排反なので、

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$

これより、

$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$

事象AとBが独立であるという条件から、$P(A \cap B) = P(A)P(B)$なので、

$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A)P(B)$

$P(A \cap B^c) = P(A)(1 - P(B))$

$P(B^c) = 1 - P(B)$なので、

$P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c)$

したがって、事象AとBcは独立であるといえます。

## 最終的な答え (5)

事象AとBが独立であるとき、事象AとBcは独立であることが証明されました。