関数 $f(x) = \sqrt{x-1}$ の導関数 $f'(x)$ を定義式に従って求める問題です。空欄「エ」、「オ」、「カ」に当てはまる式を、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x-1}$ の導関数 $f'(x)$ を定義式に従って求める問題です。空欄「エ」、「オ」、「カ」に当てはまる式を、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、導関数の定義式 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ に、$f(x) = \sqrt{x-1}$ を代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{(x+h)-1} - \sqrt{x-1}}{h}$

したがって、空欄「エ」には、$x+h-1$ が入ります。

次に、分子の有理化を行います。分子と分母に $\sqrt{x+h-1} + \sqrt{x-1}$ を掛けます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h-1} - \sqrt{x-1})(\sqrt{x+h-1} + \sqrt{x-1})}{h(\sqrt{x+h-1} + \sqrt{x-1})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h-1) - (x-1)}{h(\sqrt{x+h-1} + \sqrt{x-1})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x+h-1-x+1}{h(\sqrt{x+h-1} + \sqrt{x-1})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h-1} + \sqrt{x-1})}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h-1} + \sqrt{x-1}}$

したがって、空欄「オ」には、$1$ が入ります。

ここで、$h \to 0$ の極限をとります。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+0-1} + \sqrt{x-1}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1}}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

したがって、空欄「カ」には、$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$ が入ります。

選択肢から該当する番号を選ぶと、「エ」は④、$x+h-1$、「オ」は①、$1$、「カ」は⑥、$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$ となります。

3. 最終的な答え

エ：④

オ：①

カ：⑥