与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int (3x^2 + 1)\sqrt{x^3 + x} dx$ (2) $\int \sin^4 x \cos x dx$ (3) $\int \frac{\log x}{x} dx$ (4) $\int x^2 e^{x^3} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (3x^2 + 1)\sqrt{x^3 + x} dx$

(2) $\int \sin^4 x \cos x dx$

(3) $\int \frac{\log x}{x} dx$

(4) $\int x^2 e^{x^3} dx$

2. 解き方の手順

(1)

置換積分を行います。$u = x^3 + x$ と置くと、$du = (3x^2 + 1)dx$ となります。

したがって、

$\int (3x^2 + 1)\sqrt{x^3 + x} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^3 + x)^{3/2} + C$

(2)

置換積分を行います。$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、

$\int \sin^4 x \cos x dx = \int u^4 du = \frac{1}{5} u^5 + C = \frac{1}{5} \sin^5 x + C$

(3)

置換積分を行います。$u = \log x$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{1}{2} u^2 + C = \frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

(4)

置換積分を行います。$u = x^3$ と置くと、$du = 3x^2 dx$ となります。したがって、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ となります。

$\int x^2 e^{x^3} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{x^3} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}(x^3 + x)^{3/2} + C$

(2) $\frac{1}{5} \sin^5 x + C$

(3) $\frac{1}{2} (\log x)^2 + C$

(4) $\frac{1}{3} e^{x^3} + C$