次の関数を微分する問題です。 (1) $y = e^{-2x} \sin 2x$ (2) $y = 10^{\sin x}$ (3) $y = \log_x a$ （ただし、$a$は定数） (4) $y = \log(\log x)$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = e^{-2x} \sin 2x$

(2) $y = 10^{\sin x}$

(3) $y = \log_x a$ （ただし、$a$は定数）

(4) $y = \log(\log x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{-2x} \sin 2x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = e^{-2x}$ , $v = \sin 2x$ とすると、

$u' = -2e^{-2x}$

$v' = 2\cos 2x$

したがって、

$y' = (-2e^{-2x}) \sin 2x + e^{-2x} (2\cos 2x)$

$y' = -2e^{-2x} \sin 2x + 2e^{-2x} \cos 2x$

$y' = 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)$

(2) $y = 10^{\sin x}$ の微分

合成関数の微分を使います。

$y' = 10^{\sin x} (\sin x)' \ln 10$

$y' = 10^{\sin x} \cos x \ln 10$

(3) $y = \log_x a$ の微分

底の変換公式を使って、$y$ を変形します。

$y = \log_x a = \frac{\log a}{\log x}$

ここで、$a$は定数なので $\log a$ も定数です。

したがって、

$y' = \log a \cdot \left( \frac{1}{\log x} \right)'$

$\left( \frac{1}{\log x} \right)' = \left( (\log x)^{-1} \right)' = - (\log x)^{-2} \cdot \frac{1}{x \ln 10} = - \frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x \ln 10}$

$y' = \log a \cdot \left( - \frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x \ln 10} \right) = - \frac{\log a}{x (\log x)^2 \ln 10}$

ここで、$\log a = \log 10 \cdot \log_{10} a$ と変形して、 $\log 10 = 1$ に注意すると、

$y' = - \frac{\log_{10} a}{x (\log x)^2}$

別の考え方として、$y = \log_x a = \frac{\ln a}{\ln x}$と考えます。

$y' = \ln a \cdot \left(\frac{1}{\ln x}\right)' = \ln a \cdot \left(-\frac{1}{(\ln x)^2}\right)\cdot \frac{1}{x} = -\frac{\ln a}{x(\ln x)^2}$.

(4) $y = \log (\log x)$ の微分

合成関数の微分を使います。

$y' = \frac{1}{\log x} \cdot (\log x)'$

$y' = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x \ln 10}$

$y' = \frac{1}{x \ln 10 \log x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)$

(2) $y' = 10^{\sin x} \cos x \ln 10$

(3) $y' = - \frac{\ln a}{x(\ln x)^2}$

(4) $y' = \frac{1}{x \ln 10 \log x}$