$n$ を自然数とする。曲線 $C: y = x^2 - n$ と $x$ 軸で囲まれた領域内（曲線 $C$ 上および $x$ 軸上の点も含む）にあり、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数であるような点の総数を $a_n$ とする。また、$n^{\frac{1}{2}}$ を超えない最大の整数を $m_n$ とおく。 (1) $a_n$ を $n$ と $m_n$ で表せ。 (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{\frac{3}{2}}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。曲線 $C: y = x^2 - n$ と $x$ 軸で囲まれた領域内（曲線 $C$ 上および $x$ 軸上の点も含む）にあり、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数であるような点の総数を $a_n$ とする。また、$n^{\frac{1}{2}}$ を超えない最大の整数を $m_n$ とおく。

(1) $a_n$ を $n$ と $m_n$ で表せ。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{\frac{3}{2}}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $y = x^2 - n$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$x^2 - n = 0$ より $x = \pm \sqrt{n}$ である。

$x$ の範囲は $-\sqrt{n} \le x \le \sqrt{n}$ である。

$m_n = [ \sqrt{n} ]$ であるから、$-m_n \le x \le m_n$ である。

$x$ が整数であることから、$x = -m_n, -m_n+1, \dots, m_n-1, m_n$ である。

$x$ を固定したとき、$y$ の範囲は $x^2 - n \le y \le 0$ である。

$x$ を固定したときの整数の $y$ の個数は、 $0 - (x^2 - n) + 1 = n - x^2 + 1$ 個である。

したがって、

$a_n = \sum_{x=-m_n}^{m_n} (n - x^2 + 1)$

$= \sum_{x=-m_n}^{m_n} (n+1) - \sum_{x=-m_n}^{m_n} x^2$

$= (n+1) \sum_{x=-m_n}^{m_n} 1 - \sum_{x=-m_n}^{m_n} x^2$

$= (n+1)(2m_n+1) - 2 \sum_{x=1}^{m_n} x^2$

$= (n+1)(2m_n+1) - 2 \frac{m_n(m_n+1)(2m_n+1)}{6}$

$= (n+1)(2m_n+1) - \frac{m_n(m_n+1)(2m_n+1)}{3}$

$a_n = (2m_n+1) \left( n+1 - \frac{m_n(m_n+1)}{3} \right)$

(2)

$m_n = [\sqrt{n}]$ より、$\sqrt{n} - 1 < m_n \le \sqrt{n}$ である。

したがって、$m_n = \sqrt{n} + \epsilon_n$, $(-1 < \epsilon_n \le 0)$ と書ける。

$\frac{a_n}{n^{3/2}} = \frac{(2m_n+1)(n+1 - \frac{m_n(m_n+1)}{3})}{n^{3/2}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{3/2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2\sqrt{n} ( n - \frac{n}{3} )}{n^{3/2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2\sqrt{n}(\frac{2n}{3})}{n^{3/2}} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = (2m_n+1) \left( n+1 - \frac{m_n(m_n+1)}{3} \right)$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{\frac{3}{2}}} = \frac{4}{3}$